-6

1. 개요2. 수학적 성질3. 기타

1. 개요

-7보다 크고 -5보다 작은 정수이다. 제곱은 36이다.

2. 수학적 성질

0이 아닌, 서로 다른 3개의 정수를 사용해 구한 합과 곱이 일치하는 수는 정수에서는 6과 -6 뿐이다.

정수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있고 [math(a < b < c)] 를 만족한다고 가정하자. 합과 곱이 같다면 아래 등식을 만족한다.

[math(a+b+c=abc)]

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 0이 아니므로 다음의 4가지 중 하나로 될 수 있다.

[math(0<a<b<c)] ([math(a)], [math(b)], [math(c)]가 모두 양의 정수)
[math(a<b<c<0)] ([math(a)], [math(b)], [math(c)]가 모두 음의 정수)
[math(a<0<b<c)]
[math(a<b<0<c)]

서로 다르니 강한 순서를 줄 수 있고, 일반성을 잃지 않고 모두 양수라고 가정하여 [math(0 < a < b < c)]라고 생각하자. [math(a b c)]는 0이 아니므로 위 식의 양변을 [math(abc)]로 나누면

[math(\dfrac1{bc} + \dfrac1{ac} + \dfrac1{ab} = 1)]

이며, 앞선 순서에 의해 [math(a b < 3)]이 보여진다. 양의 정수해를 찾으면 [math(a = 1)], [math(b = 1)]인 경우는 해가 없으므로 해는 [math(a = 1)], [math(b = 2)], [math(c = 3)] 뿐이다.

처음 식은 부호 대칭이므로 [math((a, b, c))]가 해라면 [math((-a, -b, -c))]도 해가 되며, 따라서 유일한 음의 정수해도 [math((-1, -2, -3))]임은 자동으로 보여진다. 부호가 서로 다른 경우는 해가 없으므로 위 둘만이 조건을 만족시키는 유일한 해이다.

[math(a+b+c=abc)]식의 양변을 [math(abc)]로 나누는 방법이 아닌 다른 방법으로도 증명할 수 있다.

1. [math(0<a<b<c)] 이라면

앞에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 모두 양수라고 가정하면 [math(a<c)], [math(b<c)]이므로 이 두 부등식의 합인 다음의 부등식이 성립한다.

[math(a+b<2c)]

이 부등식의 양변에 [math(c)]를 더하면 다음이 성립한다.

[math(a+b+c<3c)]

위 식에 [math(a+b+c=abc)]을 대입하면 다음이 성립한다.

[math(abc<3c)]

[math(c>0)]이므로 위 식의 양변을 [math(c)]로 나누면 다음이 성립한다.

[math(ab<3)]

곱해서 3보다 작은, 서로 다른 양의 정수 쌍은 [math((1,2))] 또는 [math((2,1))]밖에 없다. [math(a<b)] 이므로 다음을 얻는다.

[math(a=1,\ b=2)]

이를 [math(a+b+c=abc)]에 대입하면 다음 식을 얻는다.

[math(3+c=2c)]

위 식의 양변에 [math(-c)]를 더하면 [math(c=3)]을 얻는다.

이로써 6은 서로 다른 3개의 정수를 사용해 구한 합과 곱이 일치하는 수가 됨을 보일 수 있다.

1.#2 [math(a<b<c<0)] 이라면

앞에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 모두 음수라고 가정하면 [math(x=-c)], [math(y=-b)], [math(z=-a)]로 두면 [math(0<x<y<z)]가 되고, 다음을 만족한다.

[math(x+y+z=(-c)+(-b)+(-a)=-(a+b+c))]
[math(xyz=(-c)\times(-b)\times(-a)=-(abc))]

위 두 식에서 다음의 등식이 성립한다.

[math(x+y+z=xyz)]

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 양수일 때 [math(a)], [math(b)], [math(c)]를 구했던 방법과 같이, [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 음수일 때 [math(x)], [math(y)], [math(z)]를 구할 수 있다.

3. 기타

미국의 락 밴드 Minus Six
Minus six(추방)

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1. 개요

2. 수학적 성질

3. 기타

분류