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한편, 이 경우도 정적분의 위끝과 아래끝에서 피적분함수 [math(f(x))]의 값이 [math(0)]이 되며, 이에 따라 넓이를 구하고자 하는 도형이 곡선 [math(y=f(x))]와 [math(x)]축으로만 둘러싸여 있다. 따라서 바로 위 5.2.1.1문단에서 밝힌 방법론을 적용할 수 있다. 그러나 이 경우는
| [math(\begin{aligned}\displaystyle\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^m(x-\beta)^nQ(x)\,{\rm d}x&=\int_0^{\beta-\alpha}ax^m\{x-(\beta-\alpha)\}^nQ(x+\alpha)\,{\rm d}x\\&=\int_0^{\beta-\alpha}ax^m\{x-(\beta-\alpha)\}^n\sum_{k=0}^Na_kx^k\,{\rm d}x\end{aligned})] |
- 해설 [펼치기·접기]
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위에서 이미 다루고자 하는 함수[math(f(x)=a\left[\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^n-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\right])]
의 그래프는 그 개형상 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]에서만 [math(x)]축과 만나며, 교차할 뿐 접할 수는 없음을 알아보았다. 따라서[math(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)Q(x))]
로 나타낼 수 있으며 [math(Q(x))]는 인수분해되지 않는다. 이제 [math(Q(x))]를 구해 보자.
먼저 식을 알기 쉽게 다루기 위하여[math(x-\dfrac{\alpha+\beta}2=p,\;\dfrac{\beta-\alpha}2=q)]
로 치환하면[math(f(x)=p^n-q^n)]
이다. [math(n)]은 짝수이므로, 이를 다음과 같이 인수분해하여 [math(Q(x))]를 찾을 수 있다.[1]
위와 같이 여러 기호를 사용하여 [math(Q(x))]를 한 줄에 나타내는 것은 가능하지만, 이를 모두 전개하는 일은 매우 복잡한 과정이다. 또한 해당 방법론을 적용하려면 사실은 [math(Q(x))]보다도 최종적으로는 [math(Q(x+\alpha))]를 알아야 하는데, 이 때문에 계산이 더욱 복잡해진다. [math(Q(x))]의 전개식을 구한 뒤 [math(Q(x))]를 굳이 그대로 사용한다고 해도 어차피[math(\begin{aligned}f(x)&=(p+q)(p-q)(p^{n-2}+p^{n-4}q^2+p^{n-6}q^4+\cdots+q^{n-2})\\&=(p+q)(p-q)\displaystyle\sum_{k=0}^{(n/2)-1}p^{n-2-2k}q^{2k}\\\therefore Q(x)&=\sum_{k=0}^{(n/2)-1}\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^{n-2-2k}\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{2k}\end{aligned})] [math(Q(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-\alpha)^k)]
을 만족시키는 [math(a_k)]들의 값을 찾아 주는 추가적인 과정이 남아 있으므로 이 또한 지난하기 짝이 없는 계산이다.
위 해설에서 보듯이 곧이곧대로 [math(f(x))]를 인수분해하여 [math(Q(x))] 또는 [math(Q(x+\alpha))]를 전개하는 것은 매우 번거로운 일이므로, 본 문단의 맨 위에서 살펴본 증명과 같이 [math(f(x))]를 직접 정적분하는 것이 오히려 훨씬 간편하다. 이 사례는 5.2.1.1문단에서 밝힌 방법론이 무조건 계산을 줄여주는 것은 아님을 암시한다. 단, [math(n=4)]일 때만큼은 그나마 덜 복잡하므로 다음과 같이 증명을 할 수 있다. 그러나 이 경우에도 직접 정적분을 하는 것보다 조금 더 복잡하다.
- n=4인 경우의 방법론 사용 [펼치기·접기]
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먼저 식을 알기 쉽게 다루기 위하여[math(x-\dfrac{\alpha+\beta}2=p,\;\dfrac{\beta-\alpha}2=q)]
로 치환하면[math(\begin{aligned}f(x)&=p^4-q^4\\&=(p+q)(p-q)(p^2+q^2)\end{aligned})]
에서 [math(Q(x))]는 다음과 같이 정리할 수 있다.[math(\begin{aligned}Q(x)&=p^2+q^2\\&=\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^2+\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2\\&=x^2-(\alpha+\beta)x+\dfrac{(\alpha+\beta)^2}4+\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4\\&=x^2-(\alpha+\beta)x+\dfrac{\alpha^2+\beta^2}2\end{aligned})]
따라서 다음과 같이 계산할 수 있다.[math(\begin{aligned}\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)\,{\rm d}x\right|&=\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\dfrac{\alpha^2+\beta^2}2\right\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax\{x-(\beta-\alpha)\}\left\{(x+\alpha)^2-(\alpha+\beta)(x+\alpha)+\dfrac{\alpha^2+\beta^2}2\right\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax\{x-(\beta-\alpha)\}\left\{(x^2+2\alpha x+\alpha^2)-(\alpha+\beta)x-\alpha^2-\alpha\beta+\dfrac{\alpha^2+\beta^2}2\right\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax\{x-(\beta-\alpha)\}\left\{x^2-(\beta-\alpha)x+\dfrac{(\beta-\alpha)^2}2\right\}\,{\rm d}x\right|\\&=|a|\times\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^3\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x-(\beta-\alpha)\int_0^{\beta-\alpha}x^2\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x+\dfrac{(\beta-\alpha)^2}2\int_0^{\beta-\alpha}x\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|\\&=|a|\times\left|-\dfrac1{20}(\beta-\alpha)^5-(\beta-\alpha)\times\left\{-\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^4\right\}+\dfrac{(\beta-\alpha)^2}2\times\left\{-\dfrac16(\beta-\alpha)^3\right\}\right|\\&=|a|\times\left|-\dfrac1{20}(\beta-\alpha)^5+\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^5-\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^5\right|\\&=\dfrac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5=\dfrac{|a|}{4\cdot5}(\beta-\alpha)^5\end{aligned})]
[1] 참고로 [math(n)]이 홀수이면 [math(p^n-q^n)]은 [math((p+q))]와 [math((p-q))] 중 [math((p-q))]만을 인수로 갖는다.