| 절대부등식 Inequalities | ||
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| [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)] | ||
| 합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다. | }}}}}}}}}}}} | |
1. 개요
Schur's Inequality.슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 KMO와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문. 자세한 부등식의 내용은 아래와 같다.
음이 아닌 실수 [math(a,b,c)][1]와 [math(r>0)]에 대하여, [math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq0)]이다. 등호는 [math(a=b=c)] 또는 [math(a,b,c)] 중 두 개는 같고 나머지 하나는 0일 때 성립한다.
2. 증명
[math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right))]가 대칭식이기 때문에 [math(c\leq b\leq a)]라고 두어도 된다.[2]이 때, [math(f\left(x\right)=x^r\left(x-c\right))]라고 정의하면, 음이 아닌 실수 [math(x)]에 대하여
[math(\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x\right)={\left(x^{r+1}-cx^r\right)}'=\left(r+1\right)x^r-crx^{r-1}=\left(r+1\right)x^{r-1}\left(x-\frac{rc}{r+1}\right)\geq 0)]가 성립한다.
따라서 [math(f\left(x\right))]는 [math(x)]에 대하여 증가함수이고, [math(f\left(a\right)\geq f\left(b\right))]이다.
따라서 [math(a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)-b^r\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(f\left(a\right)-f\left(b\right)\right)>0)]이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 [math(c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq 0)]를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다.
3. 일반화
이 슈르 부등식은 일반화가 존재한다. 내용은 아래와 같다.[math(a,b,c)]가 양의 실수라 하자. 또한 [math(a,b,c)]와 [math(x,y,z)]가 비슷하게 정렬되어 있다고 가정하자.[3] 그러면, [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)]이 성립한다.
그런데 여기서 또 일반화가 존재한다. 아래 일반화는 2007년 루마니아의 한 수학자에 의해 증명되었다.실수 [math(a,b,c,x,y,z)]에 대하여, [math(a\geq b\geq c)]이고 [math(x\geq y\geq z)]라고 가정하자.[4] 양의 실수 [math(k)]에 대하여 함수 [math(f:)]ℝ[math(\to)]ℝ[math(^+_0)]가 볼록함수이거나 단조함수라 가정하자. 그러면, [math(f\left(x\right)\left(a-b\right)^k\left(a-c\right)^k+f\left(y\right)\left(b-a\right)^k\left(b-c\right)^k+f\left(z\right)\left(c-a\right)^k\left(c-b\right)^k\geq0)]이 성립한다.
제일 위에 있는 슈르의 부등식은 여기서 [math(x=a,y=b,z=c,k=1,f\left(x\right)=x^r)]인 경우임을 알 수 있다.4. 관련 문서
[1] 음이 아닌 실수 [math(a,b,c)]'에 좀 더 제한을 두어 양의 실수 [math(a,b,c)]'에 대한 따름정리를 슈르 부등식이라고 하기도 한다. 만약 [math(a,b,c)]중 하나가 0이라면 증명이 너무 간단해지기 때문.[2] 대칭식에 관한 설명은 인수분해를 참조하자.[3] 크기 순서가 같다는 뜻. 예로 [math(a\leq b\leq c)]이면 [math(x\leq y\leq z)]를 뜻한다.[4] [math(z\geq y\geq x)]라 가정해도 된다.