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0.999…=1

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1. 개요2. 설명3. 간단한 증명들4. 이에 대한 반박들5. 남은 이야기6. 무한수7. 관련 링크8. 관련 문서

1. 개요

k=1910k=1\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} = 1

아주 오래 전부터 수많은 사람들에게 셀 수 없이 많은 논란을 불러일으킨 명제.

결론부터 말하자면 0.999=10.999\ldots=1이다.

2. 설명

이 논제를 헷갈리는 이유는 정확한 용어의 정의 없이 직관만으로 논증하려 했기 때문이다. 가령 무한 소수라는 것을 점점 '다가가는' 수 같은 식의 임의로 움직인다는 개념을 집어넣거나 하는데 수학에 '움직이는 수'라는 개념은 없다. 대부분의 수학을 다루지 않는 일반인들은 고등학교에서 수박 겉핥기 식으로만 극한을 배우게 된다. 그런데 고등학교 수준에서는 해석학을 제대로 다룰 수가 없기 때문에 극한과 그 관련 개념들에 대해서 제대로 된 설명을 하지 않고 넘어가게 되면서 사람들의 혼란을 초래하게 된다. 심지어 교사들마저도 이에 대해 제대로 이해하지 못하고 잘못된 설명을 하는 경우가 아주 흔하다. 고로 이런 혼란이 일어난 것은 수학이라는 학문을 애매한 정도로 어설프게 가르친 교육과정의 잘못이 크다고 할 수 있다.

다행히도 0.999… = 1이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 고등학교 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다. 문과라면 결론만 보자.

0.999…같은 표기를 쓰기 전에 일단 '무한소수' 라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 수열 {an}nN\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N} 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 0.999... 라고 한다면 a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999,...a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, ... 이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 극한으로써 정의된다.

극한에 대해서는 해당 항목에 자세히 설명이 되어 있으므로 관심이 있다면 참고하자. 간단히 설명하자면, ana_n의 극한이 a라는 것은 아무리 작은 양수 ϵ\epsilon를 제시하더라도, n을 충분히 크게 함으로써 aaana_n 사이의 거리를 ϵ\epsilon보다 작게 할 수 있다는 의미이다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다' 라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않는데 ana_naa로 무한히 접근하지 않을 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다.

첫 번째 문제는 {an}nN\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N}의 극한값이 존재할지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇일지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 {an}\left\{ a_n \right\}의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 n에 대해 ana_n보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수' 와 같다.

이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 예를 들어 '10'은 임의의 ana_n보다 크므로 이 집합의 상계이다. 실수의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum)은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수밖에 없도록 만든 개념이기에 그렇다. 이는 하한(infimum)도 마찬가지. 자세한 것은 https://en.wikipedia.org/wiki/Least-upper-bound_property를 참조

그 다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. 단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 유계이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다.

이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, {an}\left\{ a_n \right\}이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한 cc로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 ϵ\epsilon이 존재하여 아무리 n을 키워도 ccana_n의 차이를 ϵ\epsilon보다 작게 만들 수 없어야만 한다. 하지만 그럴 경우, cc{annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜나하면 c0.5ϵc-0.5\epsilon라는 수는 cc보다 작으면서도 {an}\left\{ a_n \right\}의 상계가 될 수 있기 때문이다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 {an}\left\{ a_n \right\}의 극한값이 존재하며 그 값은 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한과 같다.

이제 모든 증명이 끝났다. an=1110n=0.9999\displaystyle a_n=1-\frac{1}{10^n}=0.999\cdots 9(9가 n개)라고 하자. 그러면 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한은 1이다. 따라서 0.999… = 1이다.

3. 간단한 증명들

  • a=0.999a = 0.999\cdots로 두면 10a=9.99910a = 9.999\cdots 이때, 10aa=9a=9.9990.999=910a - a = 9a = 9.999\cdots- 0.999\cdots = 9 이므로, a=1a = 1
    이는 중학교 수학책에도 나오는 증명이다.
  • (귀류법) 0.9990.999\cdots11이 다르다고 하자.
    실수의 삼분법(trichotomy)[1]에 의하여 0.9˙>10.\dot{9}>1이거나 0.9˙<10.\dot{9}<1 중 하나이다. 일단 0.9˙>10.\dot{9}>1은 성립하지 않는다. 왜냐하면 0.9˙>10.\dot{9}>1이라면 0.9˙0.\dot{9}의 정수 부분이 1보다는 크거나 같아야 하는데 이는 모순. 0.9˙<10.\dot{9}<1라면 실수의 조밀성에 의하여 0.9˙<a<10.\dot{9}<a<1인 어떤 실수 aa가 존재한다. a:=0.a1a2a3 (ai{0,1,2,,9})a:=0.a_1a_2a_3\ldots \ (a_i \in \left\{ 0,1,2,\ldots,9 \right\})라 하자. 0.999<0.a1a2a30.999\cdots < 0.a_1a_2a_3\cdots인데 a1a_10,1,2,,80,1,2,\ldots,8중 하나라면 0.9˙>a0.\dot{9}>a이므로 모순. 따라서 a1=9a_1=9이다. 같은 방법을 계속 반복하면 임의의 자연수 nn에 대하여 an=9a_n=9가 된다. 따라서 a=0.9˙a=0.\dot{9}이므로 모순. 0.9˙>1, 0.9˙<10.\dot{9}>1,\ 0.\dot{9}<1의 두 가지 경우에 대하여 모순이므로 결과적으로 0.9˙=10.\dot{9}=1이다.
  • 모든 자연수 nn에 대하여 0<n<10n0<n<10^n이므로 0<110n<1n\displaystyle 0<\frac{1}{10^n}<\frac{1}{n}이 성립한다. 실수의 아르키메데스 성질에 의해 수열 {1n}\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}은 0으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 {110n}\displaystyle \left\{\frac{1}{10^n}\right\}도 0으로 수렴한다. 그러면 극한의 성질에 따라 limn(1110n)=1\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)=1
  • 1÷3×3=1×13×3=1×33=11\div 3\times 3= 1\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\times\displaystyle\frac{3}{3}=1이 되는데,
    1÷3×3=0.333×3=0.9991\div 3\times 3=0.333\ldots\times3=0.999\ldots이므로, 1×13×3=1÷3×3=0.999=11\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\div 3\times 3=0.999\ldots=1가 된다.
  • 19\displaystyle\frac{1}{9}는 0.111... 이고 29\displaystyle\frac{2}{9}는 0.222.. 이므로 99\displaystyle\frac{9}{9} 0.999.. 이다. 이때, 99\displaystyle\frac{9}{9}는 1과 같으므로 0.999…=1 성립이 된다.
  • 0.999…= 910\displaystyle\frac{9}{10} x 11110\displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{10}} = 910\displaystyle\frac{9}{10} x 19/10\displaystyle\frac{1}{9/10} = 910\displaystyle\frac{9}{10} x 109\displaystyle\frac{10}{9} = 1이므로 0.999..=1이다.
  • 0.999…는 순환소수 0.9˙0.\dot{9} 를 다르게 쓴 것뿐이다. 이 순환소수를 유리화하면 9101=99\displaystyle\frac{9}{10-1} = \frac{9}{9}이므로 1이 된다.
  • 엡실론 - 델타 논법을 이용하면, 보다 확실해지는데, {an}=10.1n\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}이라고 수열을 정의하자. 이 수열은 0.9,0.99,0.999,...0.9, 0.99, 0.999, ...식으로 끝 없이 이어진다. 이제, 이 수열의 극한을 1이라 가정하고, 엡실론 - 델타 논법에 따라 전개하자. 임의의 양의 실수 ϵ>0\epsilon>0에 대해서, k>Nk>Nk\forall k에 대하여, ak1<ϵ\left|a_k-1\right|<\epsilon을 만족하는 임의의 자연수 NN이 존재한다. 이는 {an}=10.1n\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}이라고 수열을 정의했기 때문에, ak1=0.1k\left|a_k-1\right|=0.1^{k}가 되기 때문인데, N=log0.1ϵ=log10ϵN=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor=-\lceil\log_{10}\epsilon\rceil로 잡으면, kN+1>log0.1ϵN=log0.1ϵk\geq N+1>\log_{0.1}\epsilon\geq N=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor이 되어, 0.1k0.1N+1<0.1log0.1ϵ=ϵ<10N0.1^{k}\leq 0.1^{N+1}< 0.1^{\log_{0.1}\epsilon}=\epsilon<10^{N}이 성립한다. 즉, 어떤 ϵ>0\epsilon>0을 잡아도, 그보다 오차를 줄일 수 있는 NN을 정의할 수 있어서, 이 수열의 극한값은 1이 된다.[2]


사실 이 항목에서는 증명이 중요한 것이 아니라 정의가 본질적인 문제이다. 무한소수의 정의에 대한 어떠한 언급도 하지 않으면서 하는 증명이란 것은 모호한 사실을 얼핏 보기에 덜 모호해 보이는 사실(가령 1/3=0.333...)로 바꾸는 것인데 애매모호함은 그저 숨겨져 있을 뿐 그대로 남아있게 된다. 교육학적으로는 어떨지 모르겠으나 수학적으로는 설명이라고 할 것이 못 된다.
  • 1. 13=0.3333\displaystyle\frac{1}{3} = 0.3333\ldots 이다.
  • 2. 13×3=1\displaystyle\frac{1}{3}\times3 = 1 이다.
  • 3. 13×3=0.3333×3=0.9999\displaystyle\frac{1}{3}\times3=0.3333\ldots\times3 = 0.9999\ldots 이다.
  • 4. 따라서 0.9999=1\mathbf{0.9999\ldots = 1} 이다.

만약 이 항목에 관하여 누군가가 자신에게 물어온다면 이러한 증명을 보여주는 것이 아니라 그저 무한소수의 정의는 무엇인지 생각해 보았냐고 되물어 봐 주는 게 낫다.

사실 계산기로 1÷3×3=1을 보여주면 된다
애초에 0.999... = 9/9다.
간단하게 납득시키고 싶다면, 1에서 0.999…를 빼서 뭐가 남느냐고 물어보자[3]

4. 이에 대한 반박들

물론 이에 대한 반박은 단순히 인터넷 꾸준글 수준이 아니라 역사적이라고 해도 될 만큼 오래 있었다.
  • "0.9990.999\cdots11한없이 다가가는 수이지 11이 안 된다."
  • 0.9990.999\cdots 가 1과 같다면 11 - 0.9990.999\cdots == 00이 성립되어야 한다.되는데요

조금 더 그럴싸한 반박으로는 다음과 같은 것이 있다. "S={xx<1}S = \{x|x<1\}이라 하자. 0.90.9SS의 원소이다. 0.990.99 역시 SS의 원소이다. 0.999...90.999...9(99kk개)가 SS의 원소일 때, 0.9990.999\ldots(99k+1k+1개) 역시 SS의 원소이다. 따라서 0.9990.999\ldots 역시 SS의 원소일 수밖에 없다."라는 것이다. 당연하지만 틀린 증명인데, 왜냐하면 이 논리는 모든 자연수 nn에 대해 유한소수 0.99990.999\ldots9(99nn개)가 SS의 원소임을 말해줄 뿐이고, SS가 실수에서 닫힌 집합[closed set]이 아니기 때문이다. 어떤 집합이 닫혔다는 SS의 원소로 이루어진 임의의 수렴하는 수열 {an}\{a_n\}에 대해 그 극한값이 SS의 원소라는 것으로 정의된다. 이런 정의가 있다는 것은 당연하지만 모든 실수의 부분집합이 닫힌 집합인 것은 아님을 암시한다. 임의의 자연수 nn에 대해 0.99990.999\ldots9(99nn개)가 SS의 원소이더라도 0.9990.999\ldots는 그렇지 않을 수도 있는 것이다.

5. 남은 이야기

다시 강조하지만 0.999…=1이라는 것은 1+1=2이라는 사실만큼이나 반박이나 논란의 여지도 없는 엄연한 수학적 사실이다. 그럼에도 불구하고 언뜻 보기에 너무나 오해하기 쉬운 모습 때문인지, 현재까지도 인터넷 등지에서는 게시판이나 포럼에서는 격렬한 논란을 일으켜 불바다로 만드는 떡밥으로 언급된다. 북미에서 인터넷이 보급되면서 시작해 지금까지도 한 번 판 터지면 양쪽에서 그야말로 입에서 거품을 무는 장관이 펼쳐진다. 블리자드 배틀넷에서 하루가 멀다하고 이 주제를 가지고 싸움이 나자 2004년 블리자드에서 공식으로 0.999=10.999\ldots=1이 옳습니다하고 공지한 적이 있다.

이는 중등수학에서 '순환하는 무한소수의 분수꼴 표현'과 고등수학에서 '극한값을 이용한 무한소수의 합 구하기'를 철저하다 못해 훈련하듯 배우는 대한민국도 예외는 아니라 디시인사이드 수학 갤러리의 공지글, 나무위키의 0.999…=1 문서 등에 그 고충이 묻어나고 있다.[4] 특히 수갤에서는 워낙 자주 올라온 꾸준글이어서 금지 떡밥으로 지정되어 공지에 오르는 등 수갤러들이 얼마나 이 문제로 오랫동안 지겹도록 시달리고 있는지 알 수 있다.

한국에서도 유명한 수학 귀신에서도 주인공 로베르트가 0.999=10.999\ldots=1는 마지막 0.999=10.999\ldots=1가 없으니 11이 아니라는 의문을 던지고 테플로탁슬을 매우 빡치게 한다. 책의 77쪽 참고.

수학과 전혀 상관없을 법하지만 격투만화인 그래플러 바키의 등장인물 오로치 돗포의 회상씬에서 등장하기도 했다. 0.999...의 마지막 9를 찾기 위해 노력했지만 결국엔 0.999...=1임을 인정한다.

6. 무한수

무한소수와 비슷하게, 단지 소수점 아래로 가는 것이 아닌 위의 자리로 무한대로 같은 순자가 반복되는 십진수, 예컨대 333333333333333333=3˙3\cdots 333333333333333333=\dot{3}3을 생각해 보자. 이는 무한등비급수 3+30+300+3000+3+30+300+3000+\cdots과 같은데, 급수가 무한대로 발산하기 때문에 어떠한 값을 가지지 못한다. 그렇지만 이 값이 어떤 실수 xx라고 가정해 보자. 그렇다면 x10x=33333333333330=3x-10x=\cdots 3333333-\cdots3333330=3이므로, x=13=0.3˙=0.333333333x=-\dfrac{1}{3}=-0.\dot{3}=-0.333333333\cdots이다. 즉, 무한등비급수 3+30+300+3000+3+30+300+3000+\cdots의 값이 정의된다면 그것은 13-\dfrac{1}{3}이다.

그렇다면 ...9999인 경우는 어떻게 될까? 마찬가지로, 이 값은 -1이 된다. ...9999에 1을 더해 보자. 그러면 무한히 0이 반복되는 십진수가 나온다. 우리는 모든 자리수가 0인 수는 0뿐이라는 것을 이미 알고 있다. 즉 소수점을 기준으로, 소수점 뒤로 9를 무한히 쓰면 1이, 소수점 앞으로 9를 무한히 쓰면 -1이 되는 일이 일어나는 것이다. 무한소수를 직관으로 이해하는 사람은 0.9999...=1을 받아들일 수는 있을지언정, ...9999=-1이라고 받아들일 수는 없을 것이다. 심지어는 0.9999...=1이라고 철썩같이 믿고 이해하던 사람도 말이다. 이건 당연하다. 0.9999...는 하나의 값으로 정의되지만, ...9999는 값을 정의할 수 없기 때문이다. 위의 계산 과정은 그저 그 값을 정의할 수 있다고 억지로 가정한 뒤에 풀이한 것이다. 물론 수학적으로 의미가 전혀 없는 과정은 결코 아니다.

사실 생략되어 있을 뿐 우리가 십진수로 쓰는 모든 표현은 소수점이 끝나는 것처럼 보이는 자리 뒤에 0이 무한대로, 그리고 맨 앞자리수 앞에도 0이 무한대로 붙어 있는 형태로 쓸 수 있다는 것은 금방 이해할 수 있다. 무한수 및 무한소수는 이렇게 무한히 반복되는 형태로 인해 정보량이 제약된 어떠한 형태를 유한한 정보량의 유리수로 대입하여 정의한 것에 불과하다. 즉, 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 를 계속 하면 언젠가 1이 된다는 게 아니라, 1을 다른 방식으로 0.999...라고 표현하기로 약속했다고 이해하는 편이 무한소수의 정의 관점에서는 더 정확한 표현이다. 그러니 쓸데 없는 데에 신경쓰지 말고, 수학 전공자들끼리도 키배가 종종 벌어지는 0의 0제곱 같은 거에나 좀 더 집중해 보자.

7. 관련 링크

8. 관련 문서




[1] 임의의 두 실수 a,ba, b에 대해서는 a=b,a<b,a>ba = b, a < b, a > b 중 하나만 성립한다.[2] x\lceil x \rceil은 천장함수, x\lfloor x \rfloor은 바닥함수라고 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.
x=max{nZ:nx}\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\}
x=min{nZ:nx}\lceil x\rceil=\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}
바닥함수는 흔히 말하는 가우스 기호와 같은 함수로, 소수점 아래를 버리는 함수이며, 천장함수는 반대로 소수점 아래를 정수로 올리는 함수다.
[3] 위의 증명을 아주아주 직관적으로 따른 설명이다. 관련 이론, 정리, 증명은 몽땅 건너뛰어서 수학적 가치는 없지만, 일상에서 이것에 의문을 가지는 사람들은 대체로 0.999…는 1과 뭔가 달라보인다는 직관에 따르는 것인지라 0.000...이 0이라는 사실은 비교적 쉽게 받아들이기 때문에 의외로 잘 먹힌다. 물론 좀 고집이 세거나 생각 좀 한다고 생각하는 사람들은 아래처럼 더 반박하기도 하지만.[4] 당장 이 문서의 역사 항목만 봐도 꽤 최근까지 격렬한 수정전쟁이 일어난 것을 목격할 수 있을 것이다.