1. 개요
호몰로지(homology)는 수학적 대상을 아벨군, 가군 등을 연결한 사슬 복합체(chain complex)를 이용해 분석한 것 또는 그 과정이다. 사슬 복합체를 구성하는 아벨군(또는 모듈 등)은 경계 사상(boundary map)이라 하는 준동형사상들로 연결되는데, 연속된 경계 사상의 합성은 [math(0)](영사상)이어야 한다. 호몰로지는 이 연속된 경계 사상의 핵과 상의 몫이다.코호몰로지(cohomology)는 사슬 복합체의 쌍대인 공사슬 복합체(cochain complex)를 이용해 정의한다. 이때 공사슬 복합체의 준동형사상을 공경계사상(coboundary map)이라 하며 공경계사상의 방향은 경계사상과 반대이다. 코호몰로지는 환 구조여서 호몰로지보다 정교한 분석이 가능하다.
호몰로지와 코호몰로지는 수학적 대상으로 계열(level)을 구성하고 각 단계 사이의 관계를 분석한다. 예를 들어, 삼차원 곡면을 삼각분할하여 얻은 면, 선분, 점들로부터 면의 단계, 선분의 단계, 점의 단계를 구성하고 각 단계들을 각각 면의 경계선, 선분의 끝 점으로 관계 지을 수 있다. 이 관계의 호몰로지, 코호몰로지를 이용해 곡면에 뚫린 구멍의 개수 등 곡면의 정보를 얻는다.
2. 정의
2.1. 사슬 복합체
사슬 복합체(chain complex) [math((A_\bullet,~\partial_\bullet))]는 준동형사상 [math(\partial_n:A_{n}\to A_{n-1})]으로 연결된 가환군 또는 가군 등의 열로서 준동형사상의 열이 모든 정수 [math(n)]에 대하여 [math({\partial_{n-1}\circ\partial_{n}=0})]를 만족하는 것이다. 사슬 복합체를 구성하는 준동형사상을 경계 사상(boundary map)이라 한다.[math(\cdots\xleftarrow{\partial_{i-1}} A_{i-1}\xleftarrow{\partial_{i}} A_i \xleftarrow{\partial_{i+1}} A_{i+1}\xleftarrow{\partial_{i+2}}\cdots)]
공사슬 복합체(cochain complex) [math((A^\bullet,~d^\bullet))]는 사슬 복합체의 쌍대(dual)를 취한 것으로, 준동형사상의 화살표 방향은 사슬 복합체와 반대가 된다. 공사슬 복합체를 구성하는 준동형사상을 공경계 사상(coboundary map)이라 한다.[math(\cdots\xrightarrow{d^{i-2}} A^{i-1}\xrightarrow{d^{i-1}} A^i \xrightarrow{d^{i}} A^{i+1}\xrightarrow{d^{i+1}}\cdots)]
2.2. 호몰로지
사슬 복합체의 [math(\partial_n \circ \partial_{n+1}=0)] 조건에 따라 [math(\partial_{n})]의 핵(kernel)은 [math(\partial_{n+1})]의 상을 포함한다. 따라서 핵 [math(\ker \partial_{n})]을 상 [math(\operatorname{Im} \partial_{n+1})]로 나눈 몫 (quotient)[math(H_n=\dfrac{\ker\partial_{n}}{\operatorname{Im}\partial_{n+1}})]
을 구할 수 있으며, 이를 [math(n)]번째 호몰로지라고 한다.호몰로지는 대수적 위상수학에서 비롯된 개념으로, 위상공간을 분석할 때 유용하다. 호몰로지가 다른 사슬 복합체는 서로 구분되며, 두 CW-복합체 사이의 함수가 모든 호몰로지에서 동형사상이면 그 함수는 호모토피 동형이다. (호몰로지 버전의 Whitehead theorem)
대수적 위상수학의 호몰로지는 위상공간 범주에서 군 범주로 가는 함자(functor)가 되는데, 이때 정의역 범주를 CW-complex와 같은 호모토피류를 가지는 공간으로 제한하면 특정 조건들이 호몰로지 함자를 특징짓는다. 더욱 일반적으로 호몰로지는 아벨 범주의 사슬복합체 범주에서 아벨범주로의 함자이다.
2.3. 코호몰로지
사슬복합체에서 쌍대 공간을 취하면 화살표의 방향이 바뀌고 여기서 호몰로지를 구하면 이를 코호몰로지라고 한다.코호몰로지는 호몰로지와 다르게 가군 뿐 아니라 환 구조까지 가지게 돼서 공간을 좀 더 자세히 분류할 수 있다.
또한 코호몰로지는 함자로 기술되고, 호몰로지와 같이 정의역범주를 적절히 제한하면 특정 조건이 코호몰로지 함자를 특징짓는다.
더 나아가 호몰로지와 다르게 표현가능함자가 되는데 (Brown의 Representability 정리) 이때 이 표현들을 모아두면 오메가 스펙트라가 나온다.
코호몰로지 이론은 1930년대부터 1940년대까지 정립되었는데, 안드레이 콜모고로프, 해슬러 위트니, 에두아르트 슈타이펠, 조르주 드 람, 에두아드 체흐가 고안자로 꼽힌다.
3. 이론
3.1. 위상수학·미분기하학
3.1.1. 특이 호몰로지
위상 공간을 삼각형이나 사면체 등의 단체(simplex)로 구분하여 단체로 생성된 대수적 구조를 확인하는 방법이다. [math(n)]-단체는 [math(\mathbb{R^m} \left(m>n\right))] 공간에서 [math(n+1)]개의 아핀 독립인 벡터들을 꼭짓점으로 가지는 도형으로 직선의 점, 평면의 선분, 공간의 삼각형 등을 일반화한 것이다. 꼭짓점이 [math(a_0 ,a_1 ,\cdots,a_n)]인 단체는 [math(\left(a_0 ,a_1 ,\cdots,a_n\right))]로 나타낸다. 표준 [math(n)]-단체 [math(\triangle ^n)]는 [math(\mathbb{R^{n+1}})] 공간에서 [math(\left(1,0,\cdots,0\right),\left(0,1,0,\cdots,0\right),\cdots,\left(0,0,\cdots,0,1\right))]을 꼭짓점으로 갖는 도형이다. 즉,[math(\displaystyle\triangle ^n=\left\{(x_0,x_1,\ldots, x_n)\left| \sum_{k=0}^n x_k =1,\ x_k \ge 0\ \forall k\right.\right\})]
이다.[1]특이 호몰로지는 다음과 같이 구성한다. 표준 [math(n)]-단체에서 어떤 위상공간 [math(X)]로 가는 모든 연속함수 [math(c_n:\Delta^n\to X)]와 계수환 [math(R)]로 생성된 왼쪽 자유 가군(left free module)을 [math(C_n)]이라 하자. 경계 사상 [math(\partial_n : C_n \to C_{n-1})]은 [math(n)]-단체의 원소를 하나 제거하여 만든 [math(n-1)]-단체의 교차합(alternating sum)으로 정의된다. 즉, [math(\partial_n c_n\left(a_0, a_1,\cdots, a_n\right)=\sum_i \left(-1\right)^i c_n\left(a_0,\cdots,\hat{a_k},\cdots,a_n\right))]이다. 이때 [math(\hat{a_i})]는 면을 구성할 때 이 꼭짓점을 제외한다는 뜻이다. 이때 [math(\partial_k \circ \partial_{k+1}=0)]는 항상 0이다. 따라서 이는 사슬 복합체를 이루고 이 사슬 복합체에 대한 호몰로지를 특이 호몰로지라 한다.
특이 호몰로지를 찾는 것은 서로 다른 보디즘류에 있으면서 닫혀 있는 도형의 개수를 세는 것과 같다. 예를 들어 구 [math(S^n \left(n>2\right))] 위의 임의의 원은 점으로 줄일 수 있으므로 1번째 호몰로지가 0이다. 또한 0번째 호몰로지의 차원은 경로 연결 성분(path-connected component)의 개수와 같다는 사실이 알려져 있다.
[math(n)]번째 특이 호몰로지의 차원 수를 베티 수(betti number)라고 하며, 이 베티 수의 교차합을 오일러 지표(Euler characteristic)라고 하는데, 이것이 바로 그 오일러의 다면체 정리에 나오는 [math(\chi=v-e+f)]와 같다.
3.1.2. 드 람 코호몰로지
미분다양체(smooth manifold) 위에서 다른 방법으로 실벡터 혹은 복소벡터공간 위의 공사슬 복합체를 만들 수 있는데, 미분형식(differential form)을 이용한다. 먼저, 미분형식이 다음과 같을 때,[math(\displaystyle \begin{aligned} \cdots \to \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^{k}(M) \to \cdots \to \Omega^{1}(M) \to \Omega^{0}(M) \to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0 \to \Omega^{0}(M) \to \Omega^{1}(M) \to \cdots \to \Omega^{k}(M) \to \Omega^{k+1}(M) \to \cdots \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H_{dR}^{k}(M)=\dfrac{\text{Ker}(d : \Omega^{k}(M) \to \Omega^{k+1}(M))}{\text{Im}(d : \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^{k}(M))} \end{aligned})] |
3.2. 대수기하학
3.2.1. 대수기하적 기초
코호몰로지는 층(Sheaf)의 절단면이라고 할 수 있다. 그러니까, 스킴 [math(X)]가 있을 때 전체 단면들 [math(\Gamma(X,{\cal O}_X))]의 원래 모습은 [math(H^0(X,{\cal O}_X))]와 함께 [math(H^i(X,{\cal O}_X))]들을 좀 더 정교하게 모은 것이라고 생각할 수 있다. 이런 철학은 높은 범주론과 안정된 [math(\infty)]-범주로 이어지며 이 범주에선 극한과 공극한의 진짜 모습을 볼 수 있다.어쨌든, [math({\rm Sch}_X)] 위에 어떤 그로텐디크 위상을 줬다고 해보자. 그리고 이 위상을 [math(J)]라고 하자. 그리고 [math(X)] 위의 [math(J)]-층을 [math({\cal F})]라고 해보자. 그렇다면 이것이 [math(J)]-단사 층들로 이루어진 분해(resolution) [math(0\to {\cal F}\to {\cal I}^{\bullet})]를 가진다고 생각할 때 [3]
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^i_J(X,{\cal F})=\dfrac{{\rm Ker}(\Gamma(X,{\cal I}^i)\to \Gamma(X,{\cal I}^{i+1}))}{{\rm Im}(\Gamma(X,{\cal I}^{i-1})\to \Gamma(X,{\cal I}^i))} \end{aligned})] |
먼저 위상의 성질들을 생각해 보자. 위상이라면 위에서 말한 층화가 있어야 한다. 거의 모든 층은 그냥 만들어지는 것이 아니고 준층에서 층으로 가는 층화로 만들어지는데, 이것이 없으면 제대로 된 코호몰로지를 만들기 힘들다. 그리고 안타깝게도, fpqc 위상에는 이런 것이 없다. 평탄 사상에는 아무런 크기 제한이 없기 때문에 무한정 커질 수 있고, 그래서 어떤 덮개의 세분(refinement)이란 개념 자체가 없기 때문이다.
그렇기 때문에 우리는 fpqc 위상의 크기를 줄이는 작업을 해야 하는데, fppf 위상을 [math(\{U_i\to U\})]가 열린 덮개란 것을 각각의 [math(U_i\to U)]가 준유한하고 평탄[4]이고 그 상들의 합집합이 자기 자신인 위상을 뜻한다고 하자. 그러면 이것은 층화가 존재하고, 언제나 코호몰로지를 정의할 수 있다. 앞으로 [math(J)]의 모든 덮개는 곧 fppf 덮개라고 하자.
여기에서 체흐 코호몰로지(Cech cohomology)를 생각해 보자. 이는 코호몰로지를 국소적으로 계산하는 방법으로 [math(\{U_i\to X\})]란 열린 덮개가 있을 때 [math(U_{ijk}=U_{i}\times_X U_j \times_X U_k)]라고 하면 층의 공리는
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\cal C}^{\bullet}(\{U_i\to X\},{\cal F}):\prod_{i}{\cal F}|_{U_i}\to \prod_{i,j}{\cal F}|_{U_{ij}}\to \prod_{i,j,k}{\cal F}|_{U_{ijk}}\to \cdots \end{aligned})] |
[math({\cal F})]가 [math(X)] 위의 준-연접 층일 때 [math({\cal F})]는 fppf 층으로도 볼 수 있는데, 간단히 [math(f:U\to X)]가 평탄하고 준-유한일 때 [math({\cal F}(U)=f^*{\cal F}(U))]를 생각하자. 그러면 이것은 충실 평탄 내림으로 층이 된다.
[math({\cal I})]가 단사 층일 때 전체 단면 함자를 씌운다는 건 전사성을 보존하므로 [math(\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},{\cal I})=0)] for [math(i>0)]임을 알 수 있다. 따라서 체흐 코호몰로지는 긴 완전열이 존재한다. 더 나아가서 기수적 코호몰로지(ordinary cohomology)하고 관련을 지을 수 있는데, [math(0\to {\cal F}\to {\cal I}^{\bullet})]과 체흐 복합체로 이중 복합체를 만들면 [math({\cal H}^i_J({\cal F}))]을 [math(U\mapsto H^i_J(U,{\cal F}))]인 준층의 층화로 보면 스펙트럼 열
[math(\displaystyle \begin{aligned} E^{ij}_2=H^i_J(X,{\cal H}^j_J({\cal F})) \to H^{i+j}_J(X,{\cal F}) \end{aligned})] |
이제 다음을 증명하자.
[math(X)]가 아핀이고 [math({\cal F})]가 준 연접일때 [math(H^i_J(X,{\cal F})=0)] for all [math(i>0)]이다.
이제 [math(a\in H^1_J(X,{\cal F}))]라고 하면 적당한 덮개 [math(\{f_i:U_i\to X\})]가 있어서 바로 위의 조건을 만족하고, 이걸 [math(\{\sqcup_i U_i\to X\})]로 바꿔 생각하자. 이는 체흐 도출된 함자 스펙트럼 열로 [math(a\in \check{H}^1_J(\{U_i\to X\},{\cal F}))]로 바꿔 생각할 수 있다. 그러면 [math(a|_{U_i}=0)]인데 여기에다가 충실 평탄 내림을 생각하면 [math(a=0)]이고 따라서 [math(i=1)]일 때의 증명이 끝난다.
일반적인 경우는 귀납법과 위의 체흐 도출된 함자 스펙트럼 열을 쓴다. 그렇다면 [math(i<n)]일 때의 코호몰로지는 모두 사라지고 [math(i=1)]일 때와 같은 문제가 된다.
위의 결과를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.
[math(X)]가 분리되었고 [math({\cal F})]가 준-연접이고 [math(\{U_i\to X\})]가 모두 아핀 덮개일 때 [math(\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},{\cal F})=H^i_J(X,{\cal F}))]
위의 결과를 이용해서 다음을 증명할 수 있다. 여기에서 [math(\text{Zar})]는 스킴을 정의할 때 처음 주어지는 자리스키 위상을 뜻한다.
[math(X)] 위의 준연접층 [math({\cal F})]이 있으면 [math(H^i_J(X,{\cal F})=H^i_{\text{Zar}}(X,{\cal F}))]다.
뇌터스킴일 경우 다음이 성립한다.
[math(X)]가 n차원의 뇌터스킴일 때 [math(i>n)]고 [math({\cal F})]이 [math(X)] 위의 아무 스킴일때 [math(H^i(X,{\cal F})=0)]이다.
점에 대해서 각각의 코호몰로지를 계산해 보자. 점은 간단히 체만 생각해서 [math({\rm Spec}\,k)]를 생각하자. 그러면 층 코호몰로지는 열린 부분집합이 자기 자신밖에 없으니까 당연히
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^i({\rm Spec}\,k,{\cal F})=0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\cal F}_{x}=\lim_{k'/k\text{ is separable}} {\cal F}({\rm Spec}\,k') \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^i_{\acute{e}t}({\rm Spec}\,k,{\cal F})=H^i({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k),{\cal F}_x) \end{aligned})] |
앞으로 [math(U\to X)]가 에탈일 때 [math(\mu_n(U)=\{f\in \Gamma(U,{\cal O}_X)|f^n=1\})]로 층을 정의하자. 그러면 이것은 직관적으로 1의 거듭제곱근을 모은 게 된다.
이제 한 가지 신기한 걸 보자. [math(H^1(X,{\cal O}^{\times}_X))]를 볼 텐데, 이는 유리함수들의 층을 [math({\cal K})]라고 쓰면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \Gamma(X,{\cal O}^{\times}_X)\to \Gamma(X,{\cal K})\to \Gamma(X,{\cal K}/{\cal O}^{\times}_X)\to H^1(X,{\cal O}^{\times}_X) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^1(X,{\cal O}^{\times}_X)={\rm Pic}(X) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^1_{\acute{e}t}(X,{\cal O}^{\times}_{X})={\rm Pic}(X) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^1({\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k),(k^{{\rm sep}})^{\times})=H^1_{\acute{e}t}({\rm Spec}\,k,{\cal O}^{\times}_{{\rm Spec}\,k})=H^1({\rm Spec}\,k,{\cal O}^{\times}_{{\rm Spec}\,k})=0 \end{aligned})] |
앞으로 n이 [math(X)]의 모든 국소환들의 char.하고 서로소라고 하고 이제 [math(H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n))]를 생각해 보자. 그러면 다시 체흐 코호몰로지를 생각하면 이는 [math(X)] 위의 가역층 [math({\cal L})]이고 trivilzation [math(\alpha:{\cal L}^{\otimes n}\to {\cal O})] 둘을 모은 [math(({\cal L},\alpha))]들이 된다. 그리고 이것은 n차 유한 에탈 덮개[math(Y\to X)]들을 모은 것이 된다. [math({\cal L})]의 사영 스펙트럼을 생각하면 되기 때문이다.
이것이 정확히 [math({\rm Pic}(X))]의 [math(n)]-꼬임(torsion)들인 [math({\rm Pic}(X)[n])]하고 같아지는 때를 보자. [math(k)]가 대수적으로 닫힌 체이고 [math(X)]가 [math(k)] 위의 매끄러운 사영 곡선이라고 하자. 그러면 [math({\rm Pic}^0(X))]를 [math({\rm Pic}(X))] 안에서 계수들의 합이 0인 것들을 모은 거라고 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to {\rm Pic}^0(X)\to {\rm Pic}(X)\to \mathbb{Z}\to 0 \end{aligned})] |
이제 [math(n:{\cal O}^{\times}_X\to {\cal O}^{\times}_X)]를 생각하자. 이것은 n제곱하는 사상인데 미분하면 에탈 사상임을 알 수 있으며 이것의 핵은 정확하게 [math(\mu_n)]가 된다. 따라서 이걸로 에탈 코호몰로지의 긴 완전열을 생각하면 사영 사상들은 구조층의 전체 단면이 없는 수준이란 것과 1차원인 뇌터스킴인 사상들은 코호몰로지가 2차원 이상부터 없다는 것으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} k^{\times}\to k^{\times}\to H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to {\rm Pic}(X)\to {\rm Pic}(X)\to H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)={\rm Pic}(X)[n],H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{aligned})] |
다음 둘은 동치가 된다. 먼저 [math(X)]가 준-컴팩트라고 하자.
- [math(X)]는 아핀
- 모든 이데알 층[math({\cal I}\subseteq {\cal O}_X)]에 대해서 [math(H^1(X,{\cal I})=0)]
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \Gamma(X,{\cal I})\to \Gamma(X,{\cal I}')\to \Gamma(X,{\cal I}'/{\cal I})\to 0 \end{aligned})] |
이제 [math(X=\bigcup D(f_i))]라고 하자. 그리고 [math(f_i)]의 개수를 [math(n)]개라고 하자. 그러면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to {\cal F}\to {\cal O}^n_X\to {\cal O}_X\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\cal F}\cap {\cal O}_X \subseteq \cdots \subseteq {\cal F}\cap {\cal O}^{n-1}_X\subseteq {\cal F}={\cal F}\cap {\cal O}^n_X \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \oplus_{i} \Gamma(X,{\cal O}_X)\to \Gamma(X,{\cal O}_X) \end{aligned})] |
이제 코호몰로지의 상대적임을 생각해 보자. [math(f:X\to S)]란 사상이 있고 [math({\cal F})]가 [math(X)] 위 층일 때 우리는 [math(R^if_*{\cal F})]를 정의할 수 있고 이를 높은 직접적상 함자라고 한다. 이것은 [math(X,S)]가 준-컴팩트고 [math(f)]가 준-분리됨일 때 [math({\cal F})]가 준-연접일 때 그 높은 직접적 상도 같이 준-연접이다. 증명은 [math(f)]가 아핀일 때는 자명하고 아핀 스킴을 [math(f)]으로 뒤로 보낼 때 덮히는 아핀 스킴의 개수에 따라서 귀납법을 쓰면 된다.
준-분리됨이 고유로 바뀌면 연접으로 옮김을 증명하자면, 준-컴팩트와 분리된 스킴 [math(X)]가 있을 때 이것이 아핀 스킴으로 덮개가 될 수 있는 최대 개수는 [math(X)]의[5] [math(i>n)]일 때, [math(H^i(X,{\cal F})=0)]이 되도록 하는 최소의 [math(n)]보다 크거나 같다. 아핀 스킴 [math(n)]개로 덮개가되면 아핀 스킴에선 준-연접층의 코호몰로지가 무조건 사라진다는 것과 체흐 코호몰로지로 증명이 끝난다.
3.2.2. 사영 스킴에서의 코호몰로지
스킴 문서와 층 문서에 나와 있듯이 사영 스킴에서 연접층을 분류할 때, 연접층은 사실 세르 뒤틀림 층들을 더한 것의 몫이라는 사실을 알았다. 그리고 이런 사실에서 알 수 있는 중요한 사실은 바로 이것이다.[math(X)]가 체 [math(k)] 위의 사영 스킴이고 [math({\cal F})]가 [math(X)] 위의 연접층일 때 [math(H^0(X,{\cal F})=\Gamma(X,{\cal F}))]는 유한 차원 [math(k)]-벡터 공간이다.[6]
그러면 자연스럽게 드는 물음은, 고차 코호몰로지도 유한함을 만족하는지에 대한 것이다. 그리고 이는 아주 자연스럽게 된다.
생각해 보면, 사영 스킴은 그냥 아핀 스킴에서 전체 단면을 확 줄이기 위해서 무한대에서도 제대로 행동해 주길 바라는 스킴이다. 이렇게 전체 단면을 확 줄이면 우리는 층을 그 코호몰로지로 대응시키는 것으로 유한이란 조건이 있으니까 선형대수에서 했던 정말로 많은 여러 가지 성질들을 다시 증명할 수 있게 된다. 그러니까 사영 스킴위의 호몰로지 이론은 선형대수의 일반화고 선형대수란 건 사실 [math(X={\rm Spec}\,k)]라고 둘 때의 사영 스킴위의 호몰로지 이론에 불과하다.
따라서, 사영공간 [math(\mathbb{P}^n_{k})]의 코호몰로지를 계산해 보자. 여기에서 [math(S=k[x_1,\cdots,x_n])]라고 하고 [math({\cal O}_X(r)={\cal O}_X(1)^{\otimes r})]이라고 하자.
- [math(S\to \bigoplus_{r\ge 0}H^0(\mathbb{P}^n_{k},{\cal O}_X(r)))]는 등급 [math(S)]-모듈의 동형사상이다.
- [math(H^i(\mathbb{P}^n_{k},{\cal O}_X(r))=0)] for all [math(0<i<n)] and [math(r\in \mathbb{Z})]
- [math(H^0(\mathbb{P}^n_{k},{\cal O}_X(r))\times H^{n}(\mathbb{P}^n_k,{\cal O}_X(-r-n-1))\to H^n(\mathbb{P}^n_k,{\cal O}_X(-n-1))\cong k)]은 모든 [math(r\in \mathbb{Z})]에 대해서 유한하게 생성된 자유 [math(A)]-모듈사이의 완전쌍(perfect pairing)이다.[7]
이를 생각하면, 다음을 증명할 수 있다. 먼저 [math(X)]가 [math(k)] 차원 [math(n)]위의 사영 스킴이라고 하고 [math({\cal F})]가 연접층이라고 하자.
- [math(i>n)]이라면 [math(H^i(X,{\cal F})=0)]가 된다.
- [math({\cal F}(d)={\cal F}\otimes {\cal O}_X(d))]라고 정의하자. 그러면 [math(d)]가 충분히 크면 [math(H^i(X,{\cal F}(d))=0)] for [math(i>0)]이다.
- [math(H^i(X,{\cal F}))]는 언제나 유한 차원 [math(k)]-벡터 공간이다.
이것의 증명은 모든 사영 스킴은 그 정의로 사영공간의 닫힌 부분스킴이므로, 당김(pullback)을 상기하면 [math(\mathbb{P}^n_k)]에서만 증명하면 되고, 세 번째부터 증명하면 귀납법을 써서 [math(i=k)]일 때 성립하면 [math(i=k+1)]일 땐 사영 공간에서의 연접층의 분류를 써서
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to {\cal G}\to \prod_{i}{\cal O}(d_i)\to {\cal F}\to 0 \end{aligned})] |
두 번째 역시 귀납법으로 쉽게 증명되는데, 이번엔 위의 완전열에 첫 번째하고 가운데가 [math(i=k)]에서 0이 되도록 [math(d)]를 잡아서 텐서화하고 코호몰로지를 씌우면 첫 번째로 유한개의 [math(d)]만 생각하면 되므로 된다.
아핀 스킴을 구조층 중심으로 보고 구조층을 충분 선다발(ample line bundle)로 바꾸면 거의 똑같은 정리가 성립한다. 그러니까, 다음 셋은 동치다. [math(X)]가 [math(k)] 위에서 사영 스킴이라고 하고 [math({\cal L})]은 [math(X)] 위의 가역층이라고 하자.
- [math({\cal L})]는 충분 선다발이다.
- [math(X)] 위의 모든 연접층 [math({\cal F})]에 대해서 [math({\cal F})]에 의존하는 [math(d)]가 언제나 있어서 모든 [math(i>0)]에서 [math(H^i(X,{\cal F}\otimes {\cal L}^{\otimes d})=0)]이 된다.
- [math(X)]의 연접 이데알 층 [math({\cal I}\subseteq {\cal O}_X)]에 대해서 적당한 [math(d)]가 있어서 [math(i>0)]에서 [math(H^i(X,{\cal I}\otimes {\cal L}^{\otimes d})=0)]이다.
마지막으로, [math(f:X\to Y)]가 고유일 때, [math(R^if_*{\cal F})]은 [math({\cal F})]이 연접이면 반드시 똑같이 연접이 된다. 이는 사영일 땐 줄기마다 계산하면 되고 고유함에 대해선 초우의 보조정리를 쓴다.
3.2.3. 갈루아 코호몰로지
코호몰로지란 간단히 말해서, 우리가 모르는 정보들을 모아놓는 곳이다.예를 들면 다변수 미적분학에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \omega=\frac{-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y \end{aligned})] |
먼저 Ext 함자를 정의하자. [math(R)]가 (가환이 아니어도 되는) 1이 있는 환이고 [math(M,N)]가 모두 [math(R)]-가군이라고 하자. 그러면 [math(M)]의 사영 분해 [math(P^{\bullet}\to M\to 0)]와 [math(N)]의 단사 분해 [math(0\to N\to I^{\bullet})]가 있을 때 이 둘로 [math(\mathrm{Hom}_R(M,N))]의 이중 사슬 복합체 [math(\mathrm{Hom}_R(P^{\bullet},I^{\bullet}))]를 만들 수 있으며 이것의 전체화(totalization)의 [math(i)]번째 코호몰로지를 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N))]라고 쓴다.
이것의 성질엔 다음이 있다.
(1) 어떤 사영 분해 [math(P^{\bullet}\to M\to 0)]와 단사 분해 [math(0\to N\to I^{\bullet})]를 선택하더라도 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N))]는 유일하다.
(2) 유도 함자를 통해서 정의할 수 있다. 그러니까 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=R^i\mathrm{Hom}_R(M,-)=L^i\mathrm{Hom}_R(-,N))]가 된다. 이 세 정의가 동치라는 것은 위에서 정의한 이중 사슬 복합체로 만든 스펙트럼 열에서 가로세로로 페이지를 넘기면 된다.
(3) 유도 범주를 이용하면 [math(D(\mathrm{Mod}_R))]에서 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=\mathrm{Hom}_{D(\mathrm{Mod}_R)}(M,N[i]))]로 아주 깔끔하게 정의된다. 위의 네 정의가 동치라는 것은 [math(i=0)]에서 먼저 생각한 다음에 긴 완전열을 생각한다.
(4) 당연히 [math(\mathrm{Ext}^0_R(M,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N))]다.
(5) [math(\mathrm{Ext}^i_R(-,-))]에서 앞은 안의 colimit를 limit로 옮기고 뒤는 안의 limit를 limit로 옮긴다. 이는 Hom 함자의 성질에서 그대로 딸려 나온다.
(6) [math(i=1)]일 때, [math(\mathrm{Ext}^1_R(M,N))]은 [math(\{K\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)|0\to M\to K\to N\to 0\})]이란 집합과 1-1 대응을 이룬다.
(2) 유도 함자를 통해서 정의할 수 있다. 그러니까 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=R^i\mathrm{Hom}_R(M,-)=L^i\mathrm{Hom}_R(-,N))]가 된다. 이 세 정의가 동치라는 것은 위에서 정의한 이중 사슬 복합체로 만든 스펙트럼 열에서 가로세로로 페이지를 넘기면 된다.
(3) 유도 범주를 이용하면 [math(D(\mathrm{Mod}_R))]에서 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=\mathrm{Hom}_{D(\mathrm{Mod}_R)}(M,N[i]))]로 아주 깔끔하게 정의된다. 위의 네 정의가 동치라는 것은 [math(i=0)]에서 먼저 생각한 다음에 긴 완전열을 생각한다.
(4) 당연히 [math(\mathrm{Ext}^0_R(M,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N))]다.
(5) [math(\mathrm{Ext}^i_R(-,-))]에서 앞은 안의 colimit를 limit로 옮기고 뒤는 안의 limit를 limit로 옮긴다. 이는 Hom 함자의 성질에서 그대로 딸려 나온다.
(6) [math(i=1)]일 때, [math(\mathrm{Ext}^1_R(M,N))]은 [math(\{K\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)|0\to M\to K\to N\to 0\})]이란 집합과 1-1 대응을 이룬다.
이제 [math(G)]가 유한군이라고 하면 [math(H^i(G,M)=\mathrm{Ext}^i_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M))]라고 정의한다. 그렇다면 이것의 성질엔 다음이 있다.
(1) [math(H^0(G,M)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)=M^G=\{x\in M|\sigma(x)=x\text{ for all } \sigma \in G\})]이 된다.
(2) 앞으로 [math(\mathbb{Z}[G])]-가군을 간단하게 [math(G)]-가군이라고 쓰자. 그러면 [math(G)]-가군 [math(M)]에 대해서 1-공사슬(1-cocycle)을 [math(f:G\to M)]이고 [math(f(gh)=f(g)+gf(h))]를 만족하는 함수라고 정의하자. 그리고 1-공경계(1-coboundary)를 적당한 [math(x\in M)]이 있어서 [math(f(g)=gx-x)]를 만족하는 함수로 정의하자. 그러면 [math(H^1(G,M)=\{\text{1-cocycles}\}/\{\text{1-coboundaries}\})]가 된다. 이는 [math(M)]의 단사 가군을 구체적으로 잡는 것으로 알 수 있다.
(3) 위에서 바로 딸려나오는 것으로 [math(M^G=M)]라면 [math(H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M))]가 된다.
(4) (Hilbert theorem 90) [math(L/K)]를 체의 유한 확장이라고 하고 갈루아 확장이라고 하자. 그리고 그 갈루아 군을 [math(G)]라고 하면 [math(H^1(G,L^{\times})=0)]가 된다. 이것의 가장 간단한 증명은 충실 평탄 내림(faithfully flat descent)로 [math(H^1(G,L^{\times})=H^1(\mathrm{Spec}\,L,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,L}))]임을 증명하는 것이다.
(2) 앞으로 [math(\mathbb{Z}[G])]-가군을 간단하게 [math(G)]-가군이라고 쓰자. 그러면 [math(G)]-가군 [math(M)]에 대해서 1-공사슬(1-cocycle)을 [math(f:G\to M)]이고 [math(f(gh)=f(g)+gf(h))]를 만족하는 함수라고 정의하자. 그리고 1-공경계(1-coboundary)를 적당한 [math(x\in M)]이 있어서 [math(f(g)=gx-x)]를 만족하는 함수로 정의하자. 그러면 [math(H^1(G,M)=\{\text{1-cocycles}\}/\{\text{1-coboundaries}\})]가 된다. 이는 [math(M)]의 단사 가군을 구체적으로 잡는 것으로 알 수 있다.
(3) 위에서 바로 딸려나오는 것으로 [math(M^G=M)]라면 [math(H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M))]가 된다.
(4) (Hilbert theorem 90) [math(L/K)]를 체의 유한 확장이라고 하고 갈루아 확장이라고 하자. 그리고 그 갈루아 군을 [math(G)]라고 하면 [math(H^1(G,L^{\times})=0)]가 된다. 이것의 가장 간단한 증명은 충실 평탄 내림(faithfully flat descent)로 [math(H^1(G,L^{\times})=H^1(\mathrm{Spec}\,L,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,L}))]임을 증명하는 것이다.
이제 [math(K)]의 표수가 [math(n)]하고 서로소고 [math(L/K)]라는 갈루아 유한 확대가 있고 이것의 갈루아 군이 [math(G)]고 [math(K)]가 nth root of unity를 모두 가지고 있다고 생각해 보자. 그 nth root of unity들의 군을 [math(\mu _n)]라고 쓴다면 다음과 같은 완전열을 만들 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mu_n\to L^{\times}\to L^{\times}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to H^0(G,\mu_n)\to H^0(G,L^{\times})\to H^0(G,L^{\times})\to H^1(G,\mu_n)\to H^1(G,L^{\times}) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Hom}(G,\mu_n)=(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n \end{aligned})] |
다음으로 오른쪽을 분석해 보자. [math((K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n)]의 원소들은 [math(a(K^{\times})^n)]꼴이고, 이는 [math(K)]의 확대체 [math(K(a^{\frac{1}{n}}))]하고 1-1 대응을 이룬다. 따라서 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확장을 순환 확장(cyclic extension)이라고 하면 우리는 다음 대응을 만들 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \{\text{Cyclic extensions of }K\text{ which degrees are divided by }n\}\leftrightarrow\{L/K(a^{\frac{1}{n}})/K\text{ for }a\in K\} \end{aligned})] |
4. 참고 문헌
- G. E. Bredon, Topology and Geometry, Chapt. 2
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Chapt. 3
[1] 여기서 꼭짓점은 [math(\mathbb{R^{n+1}})]의 표준기저다. [math(n)]-단체는 삼각형과 사면체를 다차원으로 일반화한 개념이기 때문에 기호 역시 삼각형(혹은 비슷하게 생긴 델타)으로 표기한다. 정의를 보면 알겠지만 [math(n)]차원 디리클레 분포의 서포트, 혹은 게임 이론에서 혼합전략의 집합을 [math((n-1))]-단체로 나타내기도 한다.[2] 이미지 출처: 위키피디아, https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space[3] 잠깐 [math({\cal F}={\cal I}^0,0={\cal I}^{-1})]이라고 쓰자.[4] 또는 flat and finitely presented라고 해도 된다. 둘 중 어느 걸 선택해도 이론은 전혀 변하지 않는다.[5] 준-연접층만 넣었을 때의.[6] 편의상 [math(k)]를 체로 잡을 거지만, 한동안은 이걸 그냥뇌터환이라고 해도 된다.[7] 이것에 대한 증명은 생략하겠다. 아주 대충 아핀 열린 스킴을 [math(n+1)]개 잡고 체흐 코호몰로지를 생각하고 체흐 공순환을 직접 잡아주면서 계산하면 된다.
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