1. 개요
Planck mass플랑크 단위계의 일종. 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(\hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 질량 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 질량이다. [math(m_{\rm P})]로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G} &= 2.176\,434(24)\times10^{-8}\rm\,kg \\ &= 1.956\,081(22)\times10^{9}{\rm\,J}/c^2\ \\ &= 1.220\,890(14)\times10^{28}{\rm\,eV}/c^2\end{aligned})] |
2. 유도
[math(c)], [math(\hbar)], [math(G)]의 단위 및 차원은 다음과 같다.| 물리 상수 | 단위 SI 기본 단위 표기 | 차원 |
| [math(c)] | [math(\rm m{\cdot}s^{-1})] | [math(\sf LT^{-1})] |
| [math(\hbar)] | [math(\begin{matrix}\rm J{\cdot}s \\ \begin{aligned}&= \rm(kg{\cdot}m^2s^{-2}){\cdot}s \\&=\rm kg{\cdot}m^2s^{-1}\end{aligned}\end{matrix})] | [math(\sf ML^2T^{-1})] |
| [math(G)] | [math(\begin{matrix}\rm N{\cdot}m^2kg^{-2} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg{\cdot}m{\cdot}s^{-2})m^2kg^{-2} \\&=\rm kg^{-1}m^3s^{-2}\end{aligned}\end{matrix})] | [math(\sf M^{-1}L^3T^{-2})] |
3. 상세
cgs 단위계의 기본단위인 그램으로 환산하면 [math(0.000\,0218{\rm\,g})], 마이크로그램으로 환산하면 약 [math(21.8\rm\,\textμg)]이다. 대체로 단위가 극한으로 치닫는 플랑크 단위 치고는 그나마 일상적으로 접하는 크기이다.[3]천문학에서는 플랑크 길이 [math(l_{\rm P})], 슈바르츠실트 반지름 [math(r_{\rm S})]와 더불어 중요한 물리 상수로 간주되는데, 블랙홀의 질량 [math(m)]에 대해 [math(r_{\rm S} = \dfrac{2Gm}{c^2})]이므로 [math(m=m_{\rm P})]일 경우,
| [math(r_{\rm S} = \dfrac{2Gm_{\rm P}}{c^2} = \dfrac{2G}{c^2}\sqrt{\dfrac{\hbar c}G} = 2\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2l_{\rm P})] |
한편, 질량이 [math(m_{\rm P})]인 어떤 입자의 질량이 모조리 빛 에너지로 바뀔 경우 그 빛의 콤프턴 파장 [math(\lambda_{\rm C})][4]는 [math(\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc})]로 주어지므로 [math(m=m_{\rm P})]이면
| [math(\lambda_{\rm C} = \dfrac h{m_{\rm P}c} = \dfrac{2\pi\hbar}{\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2\pi l_{\rm P})] |
즉 블랙홀이 될 수 있는 최소한의 질량이라고 할 수 있다. 현실적으로는 플랑크 질량보다는 훨씬 큰 블랙홀도 순식간에 호킹 복사를 내며 증발하겠지만...
4. 정말 기본 상수가 맞는가?
상술된 것처럼 플랑크 질량은 μg 단위로써 입자 수준의 눈금 영역을 논하기에는 너무나도 큰 단위이다. 강입자간 상호작용을 관찰하기 위한 눈금 영역보다 약 17-20배수 정도 크다. 즉, 블랙홀과 같은 거시 세계의 영역에서 그리 어색한 단위는 아니지만, 입자장의 영역에서는 기본 상수라기에는 너무 어색한 측면이 존재하는 것이다. 이로부터 천체입자, 우주장을 연구하는 물리학자들 사이에서 플랑크 질량이 과연 기본 단위 상수로 취급받아야하는 것인가에 대해 이견이 상당했다.입자장론적 단점을 보완하기 위해 상수로 취급받는 플랑크 질량이 시간에 따라서 변화(evolve)했을 것이라는 학설이 제기되었고, 가장 대표적인 모형이 브랜스-디케 모형(혹은 브랜스 -디케 작용)[6] 이었다. 이 모형은 플랑크 질량이 중력자를 제외한 어떤 기본입자와도 상호작용하지 않는 무질량 스칼라 장으로부터 유도됨을 골자로하는 우주장 모형이다. 브랜스-디케 모형은 단순히 플랑크 질량을 장론적으로 어색하지 않도록 했지만, 이 모형을 기반으로 암흑물질의 기원, 제 5의 상호작용과 같은 수많은 우주장 모형이 파생되게 되었다.
5. 관련 문서
[1] 즉 플랑크 질량은 그 자체로 차원이 [math(\sf M)]인 물리 상수이다.[2] 양성자의 정지 질량을 나타내는 [math(m_{\rm p})]와의 혼동에 주의. 이쪽은 아래첨자가 소문자([math(\rm p)])다.[3] 실제로 비타민D의 일일 권장량이 0.5 플랑크 질량 정도이다. 또한 플랑크 에너지는 kWh(킬로와트시)로 환산하면 약 543.4 kWh이다.[4] 일반적으로 이 기호는 전자의 콤프턴 파장을 의미하나 본 문서에서는 일반화된 콤프턴 파장으로 쓴 것임에 유의.[5] 핵분열이나 핵융합에서 다루는 질량-에너지 전환 반응의 스케일(약 [math(10^{-28}{\rm\,kg})])과 비교하면 플랑크 질량은 어마어마하게 크다.[6] C. Brans and R. H. Dicke, Phys. Rev. 124, 925 (1961)