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1. 개요
집합을 표현하는 표기법을 설명하는 문서. 크게 원소 나열법과 조건 제시법으로 나뉜다.2. 원소 나열법
enumeration중괄호 안에 집합의 원소들을 일일이 열거(나열)하는 방식이다.
2.1. 유한한 경우
유한한 경우 잘 정의된 표기이며 그대로 일차 논리(FOL)로 대응시킬 수 있다.가령 다음 표기는
| [math(\set{ a, b, c })] |
[math(a)], [math(b)], [math(c)]만을 원소로 가지는 집합을 유일하게 나타낸다. 즉, 위 집합을 [math(A)]라 할 경우 다음의 일차 논리 문장이 성립한다. 여기서는 일차 논리 내에서 이미 =가 정의되어 있다고 가정한다. 참고로, 이후 별다른 말이 없다면 [math(A)]는 직전의 표기가 가리키는 집합을 뜻한다.
| [math(x \in A \leftrightarrow x = a \lor x = b \lor x = c)] |
즉, [math(x)]가 [math(A)]의 원소라는 말은 [math(x)]가 [math(a)], [math(b)], [math(c)] 중 적어도 하나라는 것과 동치이다. 가령 [math(\set{ 2, 7, 10 })]이라면 7은 해당 집합의 원소이다. =의 반사성에 의해 [math(7 = 7)]이며, [math(\lor)]합의 경우 하나만 참이어도 전체 문장이 참이기 때문.
고등학교 교육과정까지는 여기까지 보고 원소 나열법 = 집합 그 자체 로 이해하고 에이 쉽네 하면서 넘어가다 오류를 범하기 쉽다. 가령, 다음은 모두 같은(상등인) 집합이다.
| [math(\set{ a, b } \quad \set{ b, a } \quad \set{ b, a, a, a, b, a })] |
이는 [math(\lor)]의 가환성, 멱등성을 떠올리면 엄밀하게 이해할 수 있다. 비슷하게, 위와 같은 집합을 보고 무작정 '크기가 2인 집합'이라고 오해해 버리기도 한다. [math(a = b)]인 경우, 이는 참이 아니다.
FOL이 유한하므로 유한 개의 원소 나열까지는 위 내용을 일반화하는 것이 가능하다. 가령 [math(i = 1, \dots, n)]에 대해 [math(\set{ a_1, \dots, a_n })]처럼 쓰인 원소 나열법이 있다면
| [math(\displaystyle x \in A \leftrightarrow \bigvee^n_i x = a_i)] |
와 동치인 표현으로 이해하면 된다.
2.2. 무한한 경우
수열의 표기처럼 관용적으로 쓰이는 표기법으로, 반복되는 부분을 [math(\dots)]로 생략하여 집합을 표현하는 방식이다. 가령 모든 짝수의 집합을 표현한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.| [math(\set{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots })] |
3. 조건 제시법
builder notation모든 원소를 나열하는 대신, 특정 조건을 생각하고 해당 조건을 만족시키는 원소들의 집합을 나타내는 표기법.
주어진 집합 [math(X)]가 있고, 적당한 단항 술어 [math(\varphi(x))]가 있을 때 [math(\varphi(x))]를 만족하는 [math(X)]의 원소 [math(x)]만 모은 부분집합을 나타내는 표기법. 이 경우, 다음과 같이 표기한다.
| [math(\set{ x | x \in X \land \varphi(x) })] |
여기서 (세로선)을 기준으로 왼쪽은 [math(X)]의 원소 [math(x)]를 모은 집합이라는 의미이며, 오른쪽에는 각각 기존 집합 [math(X)], 및 만족할 술어가 들어간다. 이때 [math(\set{ x : x \in X \land \varphi(x) })]처럼 : 문자를 쓰는 경우도 정말 많은 편.
이때 표기를 단축하기 위해 [math(x \in X)]를 왼쪽으로 옮겨 다음과 같이 줄여서 쓰기도 하며, 의미는 동일하다.
| [math(\set{ x \in X | \varphi(x) })] |
위 집합을 [math(A)]라 할 경우, 다음과 같이 동등한 일차 논리(FOL) 형태와 대응된다. 즉, [math(x)]가 위 표기가 나타내는 집합의 원소라는 것은 [math(X)]의 원소이며 [math(\varphi(x))]를 만족한다는 것과 동치이다. 참고로, 이후 별다른 말이 없다면 [math(A)]는 직전의 표기가 가리키는 집합을 뜻한다.
| [math(x \in A \leftrightarrow x \in X \land \varphi(x))] |
가령, 단위원을 이루는 복소수들의 집합은 다음과 같이 표현할 수 있다.
| [math(\set{ x \in \cnums | |x| = 1 })] |
이는
| [math(x \in A \leftrightarrow x \in \cnums \land |x| = 1)] |
과 동치이며, '[math(x)]가 [math(A)]의 원소라는 것은 [math(x)]가 복소수이고 길이가 1인 것과 같다'라고 읽으면 되며, 다시 쓰면 '[math(A)]는 길이가 1인 모든 복소수들의 집합이다'라고 할 수 있다.
분류 공리꼴 때문에 적당한 집합을 넣는 게 원칙이지만, 문맥상 별 문제가 없거나 이미 조건이 명확한 경우 생략하기도 한다. 가령, 모든 소수의 집합을 나타낸다면 다음과 같이 쓸 수 있다.
| [math(\set{ x | \text{$x$ is a prime number} })] |
사용할 술어가 여러 개 있거나 [math(\land)]-정규형으로 되어 주어진 경우, 교재에 따라 다르지만 편의상 각 술어를 ,로 띄어 쓰기도 한다. 의미는 [math(\land)]와 완전히 동일하다. 가령 술어 [math(\varphi(x))], [math(\phi(x))], [math(\psi(x))]가 있다면
| [math(\set{ x \in X | \varphi(x), \phi(x), \psi(x) })] |
는 위 세 술어를 모두 만족시키는 [math(X)]의 원소를 의미하며, 따라서 [math(x \in A \leftrightarrow x \in X \land \varphi(x) \land \phi(x) \land \psi(x))]를 뜻한다.
3.1. 변수가 여럿인 경우
변수가 여러개인 경우부터 머리가 아파지기 시작하는데, 기본적으로 하나만 자유 변수이고 나머지는 implicit한 존재 양화사가 함축된 표기로 봐야 한다. 이때, 당연하게도 왼쪽 칸에 적힌 변수가 유일한 자유 변수다. 가령, 다음과 같은 표기는| [math(\set{ x \in \Z | k \in \Z, x = 2 k })] |
[math(k)]를 도입하는 존재 양화사 [math(\exists k)]를 바깥에 집어넣어
| [math(x \in A \leftrightarrow x \in \Z \land \exists k ( k \in \Z \land x = 2 k ) )] |
라고 읽어야 한다. 즉, 모든 짝수들의 집합이라고 이해할 수 있다. 본 문서에서는 가급적 풀어서 표기되었으나, 흔한 단축 표기로 [math(\exists k \in \Z ( x = 2 k ))]라고 써도 무방하다.
예제 하나를 더 살펴보자. [math(R)]이 적당한 이항 순서쌍들로 이루어진 집합이라고 생각하고 그중 첫 번째 항만 골라낸 집합을 생각하자.
| [math(\set{ x | (x, y) \in R })] |
이는
| [math(x \in A \leftrightarrow \exists y ( (x, y) \in R ) )] |
과 같이 읽으면 된다.
3.2. 치환 조건 제시법
잘 정의된 대응, 즉 항상 대응이 존재하며 그 결과가 유일한 대응이 존재할 때, 이를 치환(replacement)이라 하자. 치환 공리꼴의 그 치환 맞다. [math(f)]가 이러한 치환이라면, 아래와 같이 왼쪽 칸에 치환을 넣어| [math(\set{ f(x) | x \in X \land \varphi(x) })] |
와 같이 쓰며, [math(f(x))]를 오른쪽으로 옮기면 사실상
| [math(\set{ x | x' \in X \land \varphi(x') \land x = f(x') })] |
와 같음에 주목하자. 그럼 변수가 여럿일 때의 케이스와 똑같이 [math(x')]에 대해 함축된 존재 양화사 [math(\exists x')]를 도입하여
| [math(x \in A \leftrightarrow \exists x' ( x' \in X \land \varphi(x') \land x = f(x') ) )] |
와 같이 쓰면 된다. 역상(preimage)을 찾는 것이므로 존재 양화사가 들어가고, 이에 따라 자유 변수(free variable) [math(x)]와 별개의 비자유 변수 [math(x')]가 도입된다고 생각하면 좋다. 쉽게만 생각한다면 [math(f)]를 함수나 수식이라고 생각하면 좋지만, 반드시 함수일 필요는 없다. 가령 임의의 집합을 그 집합만을 원소로 가지는 싱글톤으로 보내는 대응 그 자체는 함수가 아니더라도, 다음과 같은 표기도 충분히 떠올릴 수 있다.
| [math(X/_= = \set{ \set{ x } | x \in X })] |
구체적인 예시로, 모든 정수를 찾고 이를 제곱한 결과만을 원소로 가지는 집합은 다음과 같이 표기할 수 있다.
| [math(\set{ x^2 | x \in \Z })] |
이때 9는 해당 집합의 원소일까? -3이 존재하여 정수 집합의 원소이며 [math(9 = (-3)^2)]를 만족하므로 그렇다고 답할 수 있다.
변수가 여러개인 경우, 앞선 원칙을 동일하게 적용하여 존재 양화사를 추가하면 된다. 가령 다음 집합을 생각하자.
| [math(\set{ 2 n + 3 m | n, m \in \Z })] |
이는
| [math(x \in A \leftrightarrow \exists n ( n \in \Z \land \exists m ( m \in \Z \land x = 2 n + 3 m ) ) )] |
와 같이 읽을 수 있다. 거의 비슷한 예시로
| [math(\Set{ \dfrac p q | p \in \Z, q \in \Z \setminus \set{ 0 } })] |
를 생각하자. [math(0.35)]는 위 집합의 원소일까? 정수 35와 0이 아닌 정수 100이 존재하여 0.35 = 35/100이므로 그렇다고 할 수 있다. 존재 양화사이므로 아무거나 잡아도 상관없다.