최근 수정 시각 : 2020-03-04 18:19:35

지수(수학)

거듭제곱에서 넘어옴
언어별 명칭
한자 指數, , 冪數
중국어
일본어
指数, 乗(じょう)
영어 Power
Exponent
Square(2제곱)
Cube(3제곱)

1. 개요2. 지수의 확장
2.1. 고등학교 교과 과정에서의 정의
2.1.1. 정수로의 확장2.1.2. 유리수로의 확장2.1.3. 실수로의 확장2.1.4. 복소수로의 확장
2.2. 그 외
2.2.1. 정적분을 이용한 정의2.2.2. 멱급수를 이용한 정의
3. 함수의 지수4. 관련 문서


1. 개요

지수는 어떤 문자의 오른쪽 위에 덧붙여 쓰여 그 거듭제곱을 한 횟수를 나타내는 문자나 숫자를 말한다. 밑과 지수를 싸잡아 이를 때는 따로 멱수(冪數)라고 하기도 한다. 컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 윗첨자를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 ^[1]기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다.[2] 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다. 나무위키에서는 윗 첨자 기능을 제공하므로 위키 내에서는 첨자로 나타내도록 하자. 혹은 [math(...)] 문법을 이용할 수도 있다.

대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다. 어떤 수 xx를 n번 곱했을 때 xnx^n 으로 쓰고, xxnn제곱(또는 xxnn승)이라고 읽는다. 이때 지수는 주로 자연수를 범위로 해서 배운다.

aa00 또는 양의 실수, bb, cc가 자연수일 때

ab×ac=ab+c{a}^{b} \times {a}^{c} = a^{b+c} (지수의 덧셈)
ab÷ac=abc{a}^{b} \div {a}^{c} = a^{b-c} (지수의 뺄셈)
(ab)c=abc\left({a}^{b}\right)^{c} = a^{bc} (지수의 곱셈)

2. 지수의 확장

중학교 수준에서는
모든 자연수 n에 대하여 an+1=ana a^{n+1} = a^{n} \cdot a , a1=a a^{1} = a
로 정의하지만 지수가 00이거나 음의 정수, 유리수 범위에서 이렇게 정의하기는 애매하다.

그래서 이러한 지수들에는 새로운 정의가 필요하다. 기존에 자연수 지수의 성질을 그대로 유지하면서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장해 나가는 것이다. 이렇게 확장시키는 것을 일반화라 한다.

00은 정의하지 않지만 수학적 편의를 위해 00=1로 놓고 사용하는 경우가 많다. [3]

2.1. 고등학교 교과 과정에서의 정의

2.1.1. 정수로의 확장

먼저 0 에 대해서 확인하면,
an+0=ana0=an a^{n + 0} = a^n \cdot a^0 = a^n
이다.
따라서, a0=1 a^0 = 1로 정의를 내리는 것이 자연스럽다.

또한, anan=a0=1 a^{n} \cdot a^{-n} = a^0 = 1 로부터, an=1an\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n} 임을 알 수 있다.

2.1.2. 유리수로의 확장


an1n=a a^{n \cdot {1 \over n}} = a
그리고 모든 유리수 n에 대해 지수의 곱셈법칙이 성립한다면,
an1n=(a1n)n a^{n \cdot {1 \over n}} = \left( a^{1 \over n} \right)^n
따라서,
a=(a1n)n a = \left( a^{1 \over n} \right)^n
로 정의를 내리는 것이 자연스럽다.
a1n a^{1 \over n} 의 값을 하나로 결정해야 하므로, (일반적으로 n이 양의 정수일 때 n개 있다.) 주 거듭제곱근 (principal nth root)를 사용하여 a1n=an a^{1 \over n} = \sqrt[n]{a} 와 같이 정의한다.

위와 같이 정의하면 지수법칙을 잘 만족함이 알려져 있다. 고등학교에서는 정의 상 허수가 나올 수 없지만, 대학교에서는 정의에 따라 얼마든지 나올 수 있다. 예를 들어, (2)13 \left( -2 \right)^{1 \over 3} Wolfram Alpha에서 계산해 보면 (2)130.62996+1.0911i \left( -2 \right)^{1 \over 3} \approx 0.62996 + 1.0911 i 임을 알 수 있다.

2.1.3. 실수로의 확장

실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 π\pi에 대해 33, 3.13.1, 3.143.14, 3.1413.141, 3.14153.1415, …이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 ara^rp=limrnp=\lim r_{n}인 유리수열 {rn}\left\{r_{n}\right\}을 이용하여 극한 ap:=limarna^{p}:=\lim a^{r_{n}}로 정의한다.[4] 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 2π2^{\pi}23,23.1,23.142^{3} , 2^{3.1} , 2^{3.14} ,…인 수열의 극한으로 정의된다.

오메가 상수라는 특수한 실수가 있는데, 자연로그의 밑에 곱하고 지수를 취하면 1이 되는 수이다.

2.1.4. 복소수로의 확장

복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다.

먼저 ax=exlna a^x = e^{x \ln a} 로부터 xz=xa+bi=e(a+bi)lnx x^z = x^{a+bi} = e^{\left(a+bi\right) \ln x } 가 튀어나온다. 그리고, 오일러의 공식 eix=cosx+isinxe^{ix} = \cos x + i\sin x을 조합하면, 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 하나로 통합되어 버린다.

복소수까지 확장되면 지수함수/로그함수는 함수값을 여러개 가지는 '다가함수'로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(=주치를 선택)하거나, 리만 곡면으로 확장하여 고려해야 한다.

이와 같은 방법을 통해 ii i^i 와 같은 수도 정의 할 수 있다. ii=eilni=eiiπ(2n+12)=eπ(2n+12) i^i = e^{i \ln i } = e^{ i \cdot i \pi \left(2n+ {1 \over 2}\right)} = e^{- \pi \left(2n+ {1 \over 2} \right) } 가 되고, 주치를 택하게 되면 ii=eπ2 i^i = e^{- {\pi \over 2} } 가 된다. 즉, 허수에 허수 제곱을 하면 특이하게도 실수가 나온다. [5] 참고로 여기서는 하나의 값만 언급했지만, ii i^i는 다가함수이기에 여러개의 값을 가진다.

2.2. 그 외

사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 ee에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의하고 자연로그를 통해 ax=exlna a^x = e^{x \ln a} 를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 로그때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 로그함수라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다.

2.2.1. 정적분을 이용한 정의

먼저 자연로그함수 lnx\ln x를 다음과 같이 정의한다.
lnx=[1,t]1tdt\ln x = \displaystyle \int_{\left[ 1, t \right]} {{1} \over {t}} dt
그 다음 lnx\ln x의 역함수를 정의한다.
ln1x=expx\ln ^{-1} x = \exp x
이렇게 정의하면 expx\exp x가 알고있는 자연지수함수 exe^x이고 나머지 일반지수함수를 ax=exlna a^x = e^{x \ln a} 로 정의할 수 있게되어 매끄럽게 설명이 가능하다.

2.2.2. 멱급수를 이용한 정의

[math(\displaystyle \exp \left( x \right) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!})]

테일러 급수를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다.[math(\exp \left( x \right))]는 exponential x의 준말로 자연지수함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다.

얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 x는 실수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수를 실수 지수로 확장하는 것이다.

3. 함수의 지수

함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 f2(x)=(ff)(x) f^{2}\left(x\right) = (f \circ f)\left(x\right) 의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 미분방정식의 도함수( d d ), 편도함수( \partial )에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 제곱근을 구할 수도 있다. 단, 삼각함수는 예외로, 해당 각에 대한 삼각함수의 값을 제곱한 것이다. 헷갈리지 말자. 로그함수 역시 삼각함수와 같다.

역함수는 보통 f1(x)f^{-1}\left(x\right)이라고 쓰며, 역삼각함수도 삼각함수 앞에 arc를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 아크사인의 경우 arcsin x, sin-1 x의 표기가 혼용된다.

한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 급수를 멱급수라고 한다.

4. 관련 문서


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[1] 캐럿으로 읽는다. 사실 하도 캐럿이 이모티콘으로 쓰이는 빈도가 압도적으로 많고 지수 표시를 위해서 쓰일 때는 'AABB제곱' 같은 식으로 읽기에 캐럿을 읽는 경우는 거의 없다보니 캐럿이 무슨 기호이고 어떻게 읽는지 모르는 사람들이 대다수다. 자세한 것은 항목 참조.[2] 만약 plain text에서 ^ 기호를 사용해 지수를 표기하는데 지수 안에 + 등 다른 부호가 들어갈 경우, 2^(x+3)과 같이 지수 전체를 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 어디까지가 지수인지 알 수 없기 때문이다. 그냥 2^x+3이라고만 쓰면 x만 지수인 것으로 받아들이는 경우가 많다.[3] 실제로 몇 핸드폰 계산기는 00을 계산하면 '1 또는 없음.'이라고 계산한다.[4] p=limrnp=\lim r'_{n}이면, limarn=limarn\lim a^{r_{n}}=\lim a^{r'_{n}}이다.[5] 사실, 무리수의 무리수지수가 정수가 나오는 경우도 있다. 잘 알려진건 elna=ae^{\ln{a}}=a. aa가 1이 아닌 양의 유리수라면, lna\ln a는 항상 무리수가 되는건 증명되어 있다.

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