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1. 개요
mathematical object / 數學的 對象수학에서 논리적으로 문제 없이 다룰 수 있을 만큼의 엄밀성을 갖춘 대상을 말한다. 수학적 대상이 되려면 충분히 논리적이고, 모호함이 없으며, 잘 정의되어야 한다.
2. 상세
흔히 학생들이 생각하는 수학은 이름대로 수를 다루는 분야라고만 여겨진다. 여기서 조금 더 나가면 비율, 방정식 등을 떠올리기도 하나 결국은 흔히 떠올리는 수와 관련된 것으로 국한된다. 기하학적으로 직선, 도형, 각도 등등을 떠올릴 수도 있으나, 이 또한 대부분은 수로 표현할 수 있어야만 '수학적'이라는 믿음을 주기 쉽다.특히, 계산 위주의 수학을 교육받은 학생들은 '변수에 들어가는 것' 정도만을 한정해서 수학적 대상으로 인지하는 경향이 있다. 가령 '자연수', '복소수' 등은 일반적으로 변수에 들어가므로 수학적 대상으로 인지하나, '더하기'나 '미분' 같은 연산 그 자체나 '수식', '문장' 등의 대상은 뭔가 별도의 것으로 보아 직접적인 계산이나 수학적 양화의 객체로 인지하지 못하는 식.
하지만, 실제로는 논리적으로 엄밀하게 다룰 수 있는 그 무엇이든 수학적 대상이 될 수 있다! 가령 흔히 수학적으로 엄밀하지 않다고 생각하는 무한대도 엄밀하게 정의하면 수학적 대상이며, 무한한 경우 매번 오개념을 낳는 확률도 수학적 대상이며, 그 외 집합, 벡터, 대칭, 연산, 다항식, 수열, 확률 변수, 마방진, 길이와 양, 그래프, 관계, 순서, 매듭, 프랙털, 게임, 알고리즘, 문장 구조, 명제, 심지어 증명이라는 것까지 전부 수와 동등한 수준의 수학적 대상이다. 이 말이 별로 충격이 아니라면 '[math(x)]를 변수로 가지는 모든 다항식들의 집합', '정육면체를 돌려서 놓을 수 있는 모든 방법들의 집합', '실수의 집합에서 유리수의 집합으로 가는 모든 함수들의 집합', '모든 유한 마방진의 집합', '종속성 이슈 없이 성공할 수 있는 모든 빌드 순서들의 집합 ', '문장 구조가 올바른 모든 문장들의 집합', '주어진 명제에 대한 모든 증명들의 집합' 등 '각 항목의 집합'[주의]을 떠올려려 해 보면 좋다.
3. 수학적 대상으로의 환원과 실재성
상술한 대로 수학적 대상이 되기 위해선 모호하지 않은 정의를 갖추어야 한다. 가령 날씨라는 것 자체는 엄밀한 정의가 없어 수학적으로 다룰 수 없다. 오늘 날씨에 +1을 더하면 뭘까? 가능한 모든 날씨 상태들의 집합은 어떻게 구성할까?이런 질문에 답하기 위해 일반적으로 날씨라는 현실의 개념을 엄밀한 요소들로 분해하여 추상화 시키는 작업을 거치며, 이를 수학적 모델링 방법이라고 한다. 가령 날씨라는 것을 온도, 습도, 기압, 위도와 경도, 바람의 각도나 벡터, 시간에 대한 미분 등 여러 관련있는 기존의 수학적 대상으로 분해하고 이 기반으로 엄밀하게 정의하여 새로운 수학적 대상으로 만들 수 있다. 즉, 현실이나 물리적인 대상을 동등한 수준의 수학적 대상으로 환원시키는 것.
반대로 생각하면, 이렇게 추상화된 수학적 대상은 본질적으로 현실과의 격차를 만들게 된다. 가령 수학의 선분은 폭이 0이므로 현실에 존재할 수 없으며, 현실의 모델링으로 만들어진 집합의 개념은 공리적 무한의 개념을 포괄할 수 없고, '계산'이라는 개념의 수학적 기준인 튜링 기계가 정말 모든 물리적 계산에 대응하는지(CTT)는 수학적 방법만으로는 보일 수 없는 식이다. 이는 근본적으로 수학이 순수 형식과학이며 수학적 대상'만'을 다루는 학문이기 때문으로, 반대로 생각하면 수학적 대상이 아닌 대상은 수학에서 다루기에 충분하지 않음을 알 수 있다.
한편, 확률 변수는 대놓고 현실을 수학적 대상과 대응시키려는 목적으로 만들어진 개념이다. 어떤 시행에서 가능한 결과들에 실수로 된 값들을 배정해 줌으로써 확률 변수를 정의하고, 어떤 시행의 결과에 대하여 말하려면 그 시행의 결과에 대응시켜 놨던 실수를 가지고 수학적 진술을 하면 된다는 것이다. 즉, '수가 아닌 것을 수로 표현'하기 위하여 만든 개념이다.
4. 형식적 존재성
위 문단에서 수학적 모델링을 통해 자연 세계에 존재하는 대상을 수학적 대상으로 대응시킬 수 있다고 했다. 다만, 수학적 대상의 자연적 실재성(reality)과 별개로 수학적 대상 자체는 존재(exist)할까? 이 무슨 뜬구름잡는 질문인가 싶지만 실제 학부 이상의 수학을 접하면 '특정 조건을 만족하는 대상의 존재성' 등등의 질문을 자주 다루게 된다. 그럼 정확히 어떤 수학적 대상이 존재하고 어떤 대상이 비존재한다고 말할 수 있을까?수학은 순수 논리 기반의 형식과학임을 생각하면 수학을 구성하는 뼈대는 사실 대상이 아니라 논리에 있음을 알 수 있다. 즉, 논의의 대상이 딱히 존재하지 않더라도 존재하였을 때의 법칙과 성질들을 정의하고, 여기로부터 정리(theorem)들을 증명해낼 수 있는 게 수학의 핵심이다.
가령, 잠시 naive한 집합론도 잊고 공리적 집합론도 잊고 머릿속에 있는 대부분의 construction을 잊었다고 치고 군(group)이 존재하는지 생각해 보자. 이 경우 '군'이라는 수학적 대상이 실제로 존재(exist)하는지는 전혀 알 수 없지만 군의 공리만을 통해 항등원의 유일성 등 일반적으로 군에서 성립하는 모든 정리를 이끌어낼 수 있다. 이런 식의 '공리들의 모임'을 모델 이론에서는 이론(theory)라고 하며, 해당 이론을 만족시키는 실제 대상을 모델(model)이라고 한다.
핵심은 이런 모델(model)이 있는지 없는지 따지지 않더라도 해당 이론(theory) 내에서는 논의 영역(domain) 내 수학적 대상을 다룰 수 있다는 것이다. 가령 페아노 공리계에서는 자연수가 논의 대상인 수학적 대상이고, ZFC 공리계에서는 집합이 논의 대상인 수학적 대상이다. 두 경우 모두 자연수, 집합 등을 원시적인(primitive) 수학적 대상으로 취급하며 이들이 실제 모델(model) 내에서 존재하는지와 무관하게 각 이론 내 수학을 전개하는 데 사용된다.
따라서 각각의 수학 분야를 배우면 (많은 경우) 하나의 이론(theory)을 배우게 되며, 그 안에서의 논의 대상은 보통 존재성을 따지지 않아도 된다고 생각할 수 있다.
4.1. 구성
construction하지만 이미 충분히 강력한
가령 군(group)이라는 걸 별도의 theory니 하고 생각할 필요 없이, ZFC 공리계 등 강력한 기반 이론 위에서 집합이라는 대상을 가지고, 이 집합들을 조립해 순서쌍을 만들고, 이항 관계와 함수, 곱집합과 이항 연산을 차례로 만들어낸 다음 군의 정의를 '특정한 이항 연산이 정의된 집합'이라고 구성해낼 수 있는 식이다. 결국 이렇게 구성된 수학적 대상들은 전부 해당 이론(theory) 내에서 존재함을 증명(prove)할 수 있는 수학적 대상들이 된다. 다시 말하면, 군 예시의 경우 ZFC 공리계 내에 군(group)의 모형(model)이 존재함을 증명할 수 있다.
복잡하게 이론부터 정의하고 생각할 필요가 없이 기존의 잘 만들어진 이론을 그대로 가져다 쓸 수 있기 때문에 일반적으로 기초론과 무관한 많은 수학에서 취하는 방식이며, 때문에 일반적으로 많은 수학적 대상이 이런 방식으로 만들어진다. 참고로 앞선 예시에선 집합밖에 없는 이론에서 함수 같은 별개의 수학적 대상을 만들었는데, 이를 함수라는 개념을 집합으로 부호화(encode)했다고 표현한다.
때문에 앞서 말한대로 충분히 강력한 기반 이론(theory)를 가지고 있는게 다른 여러 응용 분야를 다룰 때 유용함을 알 수 있다. 보통 이런 용도로 사용하는 이론을 수학적 기초(mathematical foundation)라고 하는데, 이런 걸 연구하는 분야가 바로 그 이름대로 수학기초론(foundations of mathematics)이다.
5. 관련 문서
[주의] 경우와 맥락에 따라 집합이 되지 않을 수도 있다.