1. 개요
옙센-버크호프 정리(Jebsen-Birkhoff theorem)는 일반 상대론에서 진공, 구형 대칭인 해가 유일함을 설명하는 정리이다. 다시 말해, 그러한 해는 (다른 형태로 구해지더라도) 결국 슈바르츠실트 해와 똑같은 해이다. 따라서 다른 형태의 해를 굳이 고려할 필요가 없으며, 무엇보다 이러한 조건에서 중력장이 자동으로 정적인 형태가 되므로 구형 대칭 중력장에서는 중력 복사가 발생하지 않는다는 사실을 알 수 있다. 예를 들어, 단일 항성이 중력 붕괴를 하는 경우가 이에 해당한다. 노르웨이의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 그리고 미국의 조지 데이비드 버크호프(George David Birkhoff)가 1923년에 각자 개별적으로 유도하였는데, 옙센의 발견은 나중에 알려져서 보통은 버크호프(버코프) 정리라고 알려져 있다. (허블 법칙 -> 허블-르메트르 법칙과 유사)[가][나][다][바][5][라][마]이것을 보이는 과정은 결국 아인슈타인 방정식을 푸는 것이다. 대신 슈바르츠실트 해와 다른 점은 여기에서는 각 함수를 [math(r)] 만이 아니라 (1)처럼 [math(r, \, t)]의 함수로 가정한다는 것인데, 요점은 결국 [math(t)]가 사라진다는 것이다. 리치 텐서의 각 성분은 (2)와 같이 계산된다.
[math( ds^2 = - A(r,t)dr^2 - 2B(r,t)dtdr -C(r,t)(d\theta^2 +\sin^2 \theta d\phi^2) +D(r,t)dt^2 \qquad \cdots~(1) )]
[math( \begin{pmatrix} R_{rr} = \dfrac{D}{2D} - \dfrac{D'}{4D}\left( \dfrac{A'}{A}+\dfrac{D'}{D} \right) - \dfrac{A'C'}{2AC}+\dfrac{C}{C} -\dfrac{C''}{2C^2} \\ \\
[math( \begin{pmatrix} R_{rr} = \dfrac{D}{2D} - \dfrac{D'}{4D}\left( \dfrac{A'}{A}+\dfrac{D'}{D} \right) - \dfrac{A'C'}{2AC}+\dfrac{C}{C} -\dfrac{C''}{2C^2} \\ \\
R_{\theta\theta} = \dfrac{C'}{4A}\left( -\dfrac{A'}{A} +\dfrac{D'}{D}\right)+\dfrac{C''}{2A}-1 \\ \\
R_{\phi\phi} = \sin^2\theta R_{\theta\theta} \\ \\
R_{tt} = -\dfrac{D''}{2A}+\dfrac{D'}{2A} \left( \dfrac{A'}{A} +\dfrac{D'}{D}\right) -\dfrac{D'C'}{2AC} \end{pmatrix} \qquad \cdots~(2) )]
R_{\phi\phi} = \sin^2\theta R_{\theta\theta} \\ \\
R_{tt} = -\dfrac{D''}{2A}+\dfrac{D'}{2A} \left( \dfrac{A'}{A} +\dfrac{D'}{D}\right) -\dfrac{D'C'}{2AC} \end{pmatrix} \qquad \cdots~(2) )]
2. 리치텐서
(2)를 정리하고[math( R_{11} = \dfrac{v' }{2v} - \dfrac{v'' }{4v^2} -\dfrac{v'\lambda' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda})]
[math( R_{22} = \dfrac{v' r}{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda' r}{2\lambda\lambda} - 1 )]
[math( R_{33} = \left( \dfrac{rv' }{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{r\lambda' }{2\lambda^2} - 1 \right) sin^2\theta = R_{22}\, sin^2\theta )]
[math( R_{44} = -\dfrac{v' }{2\lambda} + \dfrac{v' \lambda' }{4\lambda^2} +\dfrac{v'' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda})]
일반적으로(generalized) 접근할수있는 대칭구형(symmetric sphere)에서 접평면(tangent plane)으로 다루어지는 리치텐서(Ricci tensor)들을 조사할 수 있다.
3. 슈바르츠실트 해
1921,1923년 에딩턴(A. S. EDDINGTON),1943년 리차드 톨먼(Richard Chace Tolman)등이 사용한 일반적인 슈바르츠실트 해를 얻는 과정으로 다루어지는 전형적인 아인슈타인 텐서의 표준 접근 경로[다]82.7[마][math( G_{11} = - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right))]
[math( G_{44} = + 2\dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda^2} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
이와 비교해서 아래는 1921년 엡센의 슈바르츠실트 해에대한 리치텐서 단계에서의 빠른 접근 경로[가][바]
[math( g^{11}\left( R_{11} - \dfrac{1}{4}g_{11}R \right) -g^{44}\left( R_{44} - \dfrac{1}{4}g_{44}R \right) )]
옙센-버크호프 정리는 슈바르츠실트 해에 접근할때 [math(R_{33},R_{44})] 및 리치 스칼라 곡률 계산 생략이 가능하다.
이러한 옙센-버크호프 정리가 보여주는 빠른 경로에 대한 아이디어는 초창기 슈바르츠실트 솔루션(solution,해)을 직접 자신이 푼 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)가 1916년에 <(직역)아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie)>에서 보다 빠른 접근 경로를 기술한바있다.[바] 카를 슈바르츠실트는 그의 논문에서 특징된 다양체(manifold) 공간에서 측지선(geodesic line)을 따라 이동을 가정하고 얻은 중력장의 구성 요소들인 크리스토펠 심볼(symbol,기호)들 만으로 이를 기술했다.
다음은 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 1916년에 솔루션(해)를 얻을때 사용한 크리스토펠 심볼(표기는 편미분)이다.[바]
[math( \Gamma _{11}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}{\dfrac {1}{1-x_{2}^{2}}}, \Gamma _{33}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\left(1-x_{2}^{2}\right),\quad \Gamma _{44}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}},)]
[math( \Gamma _{21}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{2}=-{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-x_{2}\left(1-x_{2}^{2}\right),)]
[math( \Gamma _{31}^{3}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{32}^{3}=+{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},)]
[math( \Gamma _{41}^{4}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{4}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}})]
4. 옙센 정리
노르웨이의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 발표한 이러한 옙센 정리의 아이디어는 본인이 그의 논문에서 기술한 바와 같이 힐베르트 액션으로 이해될수있는 1917년의 힐베르트가 사용한 일반적(비정적) 구형 대칭사례(general—hence not static—spherically symmetric case)의 접근방법으로부터 얻을수있는 여러 가능한 미분방정식의 새로운 해를 예상함으로써 이러한 아이디어를 제안하고 있다.[14][15]4.1. 리치텐서
옙센(Jebsen)이 1921년에 발표한 옙센 정리(Jebsen theorem)의 리치곡률텐서[math( R_{mn} = \dfrac{\partial}{\partial x^n}\displaystyle\sum_{k} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix}- \displaystyle\sum_{k}\dfrac{\partial}{\partial x^k} \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}+\displaystyle\sum_{k,l} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix} \begin{bmatrix}nl\\ k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}\begin{bmatrix}kl\\ l \end{bmatrix} \end{pmatrix} )]
아서 스탠리 에딩턴(A. S. Eddington)이 1921년과 1923년에 발표한 에딩턴 방법(Eddington method)의 리치곡률텐서
[math( G_{\mu\nu} = -\dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} \{\mu\nu,\alpha\} +\{\mu\alpha,\beta \}\{\nu\beta,\alpha \} + \dfrac{\partial^2}{\partial x_{\mu}\partial x_{\nu}} log\sqrt{-g} -\{\mu\nu,\alpha\} \dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} log\sqrt{-g} )] [마]37.2
5. 관련 문서
[가] Jebsen, J. T. ,Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum. (German) JFM 48.1037.02 , Ark. för Mat., Astron. och Fys. 15, No. 18, 9 p. (1921). #[나] Birkhoff, G. D. Relativity and modern physics. With the cooperation of R. E. Langer. (English) JFM 49.0619.01 Cambridge: Harvard University Press, XI u. 283 S. 8∘(1923) #[다] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, P250,P251, §100 P254~257https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229[바] (arXiv:gr-qc/0103103v1 28 Mar 2001)General Birkhoff’s Theorem ,Amir H. Abbassi ,Department of Physics, School of Sciences, Tarbiat Modarres University,#[5] J. T. Jebsen,(English)On the general spherically symmetric solutions of Einstein’s gravitational equations in vacuo(Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum 1921), Published online: 22 November 2005 Springer-Verlag ,Gen. Relativ. Gravit. (2005) 37(12): 2253–2259 DOI 10.1007/s10714-005-0168-y[라] Proc Natl Acad Sci U S A. 1933 May; 19(5): 559–563.doi: 10.1073/pnas.19.5.559 PMCID: PMC1086067 PMID: 16587786 ' Values of Tμν and Christoffel Symbols for a Line Element of Considerable Generality,Herbert Dingle https://www.pnas.org/doi/epdf/10.1073/pnas.19.5.559[마] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923 #[다] [마] [가] [바] [바] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C[바] [14] Hilbert: Die Grundlagen der Physik II. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu G¨ottingen (1917)[15] Schwarzschild: ¨Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes. Sitz. der. Preuss. Akad. d. Wiss. 189 (1916)[마]